行測(cè)數(shù)量關(guān)系題答題技巧
行測(cè)排列組合之巧解“隔板模型”問題
排列組合作為行測(cè)試卷中考察概率較大但略有難度的考點(diǎn)，一直為考生所頭疼。因此為了熟悉這一問題，了解并掌握排列組合中常見的幾種題型的解題技巧便顯得尤為重要。而“隔板模型”就是其中較為典型的一種題型。接下來(lái)就帶大家學(xué)習(xí)一種巧解方法“隔板法”來(lái)解決此類問題。
“隔板模型”題型特點(diǎn)很具有辨識(shí)性：n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少分得1個(gè)元素。則一共有
種分法。
例1
10個(gè)相同的蘋果分給3個(gè)小孩，每個(gè)小孩至少分得1個(gè)蘋果，有多少種分法？（ ）
A.30B.36C.45D.55
【答案】B【解析】由題目可知，10個(gè)相同的蘋果分給3個(gè)不同的小孩，每個(gè)小孩至少分得一個(gè)，可以理解為將這10個(gè)蘋果分成3堆，每堆蘋果給對(duì)應(yīng)的小孩即可。如何快速分堆呢？我們不妨把這10個(gè)蘋果從左至右依次排成一排，如果要求分成兩堆，則只需要在相鄰蘋果之間的空隙中放置一個(gè)隔板，便分成了左右兩堆。同理要求分成3堆，則需要在蘋果之間找2個(gè)不同的空隙放置2個(gè)隔板，如右示意圖所示
。而10個(gè)蘋果之間有9個(gè)不同的空隙，那么我們就要在這9個(gè)不同空隙中任意選取2個(gè)空隙放置隔板即可，
本題選擇B項(xiàng)。
例2
12臺(tái)相同電腦分配給3個(gè)不同的辦公室，每個(gè)辦公室至少分得3臺(tái)電腦，有多少種分法？（ ）
A.8B.10C.12D.14
【答案】B【解析】由題目可知，這道題在分配方式上發(fā)生了變化，不再是每個(gè)對(duì)象至少分1個(gè)，所以不能直接由結(jié)論列式求解。此時(shí)我們就需要將題干中不滿足隔板模型基本特征的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由于每個(gè)辦公室至少分得3臺(tái)電腦，不妨先給每個(gè)辦公室先各分2臺(tái)，此時(shí)還剩下12-3×2=6臺(tái)。此時(shí)題干就變?yōu)榱藢⑹Ｏ碌?臺(tái)相同電腦分給3個(gè)不同辦公室，每個(gè)辦公室至少分得1個(gè)。滿足“隔板模型”題型特點(diǎn)，所以一共有
本題選擇B項(xiàng)。
例3
將12個(gè)一樣的汽車模型全部分給3個(gè)小朋友，任意分，共有多少種不同的分配方式？（ ）
A.91B.100C.121D.135
【答案】A【解析】由題目可知，這道題不滿足每個(gè)對(duì)象至少分1個(gè)的特征，所以同樣需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。任意分即說(shuō)明有的小朋友可以不分得汽車模型，換言之可以理解為每個(gè)小朋友至少分得0個(gè)。那不妨先從每個(gè)小朋友手上借來(lái)1個(gè)，則共借來(lái)3個(gè)，加上原有的12個(gè)，共有15個(gè)汽車模型。由于最初向每人借了一個(gè)，此時(shí)再去分配肯定是要還的，所以這15個(gè)模型每人至少分得1個(gè)，滿足隔板模型基本特征，直接利用結(jié)論，共有
種分配方式。本題選擇A項(xiàng)。
相信大家通過上述三道題目，對(duì)于隔板模型的基本題型特征和變式類型有了更進(jìn)一步的了解。需要注意的是，在面對(duì)變形題目時(shí)，需運(yùn)用先分或先借的思想將題干轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)模型去求解。希望對(duì)于本次“巧解”隔板模型的方法講解對(duì)大家有所幫助。
行測(cè)點(diǎn)睛：如何快速識(shí)別用“A”還是用“C”
針對(duì)排列組合這個(gè)題型，很多學(xué)生之所以覺得排列組合比較難？非常重要的原因就是“A”和“C”傻傻的分不清。所以今天就來(lái)談一談如何快速識(shí)別用“A”還是用“C”。
我們先來(lái)看一下什么是排列、組合。排列指的是從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)按照一定的順序排成一列，排列種數(shù)記作
組合指的是從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素作為一組，組合種數(shù)記作
通過上面的描述我們會(huì)發(fā)現(xiàn)排列與組合區(qū)別在于是否有順序要求，有順序要求是排列，沒有順序要求是組合。這個(gè)時(shí)候肯定會(huì)有同學(xué)說(shuō)道理我們都懂，但是在實(shí)際做題的時(shí)候就是因?yàn)榉植磺孱}目到底要不要考慮順序。這個(gè)正是我們要說(shuō)的核心的問題，在實(shí)際考試中我們可以通過交換元素順序觀察對(duì)結(jié)果有無(wú)影響，有影響用排列數(shù)A，無(wú)影響用組合數(shù)C。下面我們一起來(lái)看幾道題目來(lái)鞏固一下。
例1
某集團(tuán)公司組建新的子公司，有8人競(jìng)聘子公司的總經(jīng)理，財(cái)務(wù)總監(jiān)、行政總監(jiān)、銷售總監(jiān)和技術(shù)總監(jiān)五種職務(wù)，最后每種職務(wù)都有一個(gè)人擔(dān)當(dāng)且每個(gè)人只能擔(dān)當(dāng)一種職務(wù)，則共有結(jié)果多少種？（ ）
A.6720B.840C.40320D.120
【答案】A【解析】題目要求我們從8個(gè)人里面選擇5個(gè)人分別擔(dān)任五種職務(wù)，屬于排列、組合問題。這就需要我們判斷是用排列數(shù)計(jì)算，還是組合數(shù)計(jì)算。可以通過交換元素順序?qū)Y(jié)果有無(wú)影響判斷，假設(shè)選取的五個(gè)人中有兩個(gè)人是甲和乙，不妨認(rèn)為甲是總經(jīng)理，乙是財(cái)務(wù)總監(jiān)；交換甲和乙的順序，變成甲是財(cái)務(wù)總監(jiān)，乙是總經(jīng)理。很明顯，這是兩種不同結(jié)果，說(shuō)明交換元素順序?qū)Y(jié)果產(chǎn)生影響。所以用排列數(shù)計(jì)算，共有
故選擇A。
例2
某大學(xué)考場(chǎng)在8個(gè)時(shí)間段內(nèi)共安排了10場(chǎng)考試，除了中間某個(gè)時(shí)間段(非頭尾時(shí)間段)不安排考試外，其他每個(gè)時(shí)間段安排1場(chǎng)或2場(chǎng)考試。那么，該考場(chǎng)有多少種考試安排方式(不考慮考試科目的不同)？（ ）
A.210B.270C.280D.300
【答案】A【解析】先從中間6個(gè)時(shí)間段中選擇一個(gè)不安排考試。有6種。接下來(lái)給剩余7個(gè)時(shí)間段各安排一場(chǎng)考試。然后再?gòu)倪@7個(gè)時(shí)間段中選擇3個(gè)各安排一場(chǎng)考試。從7個(gè)里面選擇3個(gè)屬于排列、組合問題，利用交換元素順序?qū)Y(jié)果有無(wú)影響進(jìn)行判斷。由于題目要求不考慮考試科目的不同，所以交換順序?qū)Y(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響，應(yīng)該用組合數(shù)
所求為6×35=210，故選擇A。
綜上所述，快速區(qū)分用“A”還是用“C”核心關(guān)鍵就是交換一下元素的順序觀察對(duì)結(jié)果有無(wú)影響，有影響用排列數(shù)A，無(wú)影響用組合數(shù)C。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系：多者合作到底誰(shuí)在“加班”
行測(cè)考試成了各位同學(xué)成功的“攔路虎”，而在行測(cè)中數(shù)量關(guān)系常常是同學(xué)們比較痛苦的一個(gè)版塊，尤其是其中的工程問題。工程問題分為普通工程問題和多者合作工程問題，解題原則是通過核心公式掌握各種考題，部分題型會(huì)通過設(shè)特值的實(shí)用方法來(lái)解題。接下來(lái)給大家介紹一下多者合作的題型和解題技巧。
基本公式
工作總量=工作效率×工作時(shí)間，通常用字母表示為W=p×t
基本概念
多者合作：工程問題當(dāng)中，多個(gè)人共同去完成一項(xiàng)工作。(多者合作總效率等于各部分效率之和)
應(yīng)用環(huán)境及方法
例1
某項(xiàng)工程，甲施工隊(duì)單獨(dú)干需要30天才能完成，乙施工隊(duì)需要40天才能完成，甲、乙合作干了10天，因故停工10天，再開工時(shí)甲、乙、丙三個(gè)施工隊(duì)一起工作，在干4天就可全部完工。那么丙隊(duì)單獨(dú)干需要大約( )天才能完成這項(xiàng)工程。
A.21B.22C.23D.24
【答案】B【解析】設(shè)工作總量為30和40的最小公倍數(shù)120，則甲的工作效率為4，乙的工作效率為3。甲、乙合作10天的工作量為(3+4)×10=70，則剩余120-70=50個(gè)工作量，甲、乙、丙三個(gè)施工隊(duì)一起工作4天完成，則三人效率和為50÷4=12.5，丙的工作效率為12.5-4-3=5.5，丙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需要時(shí)間為120÷5.5=21.8天，選項(xiàng)均為整數(shù)天，故選擇22天，本題選擇B項(xiàng)。
例2
甲、乙、丙三人共同完成一項(xiàng)工程，他們的工作效率之比是5∶4∶6。先有甲乙合作6天，再由乙單獨(dú)做9天，完成全部工作的60%。若剩下的工程由丙單獨(dú)完成，則丙所需要的天數(shù)是：（ ）
A.9B.11C.10D.15
【答案】C【解析】設(shè)甲效率為5，乙效率為4，丙效率為6。甲乙合作6天工作量為(5+4)×6=54，乙單獨(dú)工作9天工作為4×9=36，此時(shí)兩人完成工作之和54+36=90占全部工作量60%，可得工程工作總量為90÷60%=150，則剩余工作量為150×(1-60%)=60，丙單獨(dú)完成剩余工作量所需時(shí)間為60÷6=10天，故本題選擇C項(xiàng)。
總結(jié)
1.當(dāng)題干中給出若干單獨(dú)完工的時(shí)間，可以將時(shí)間的最小公倍數(shù)特值為工作總量，進(jìn)而求出工作效率。
2.當(dāng)題干給出或可以推出效率之比，將效率的最簡(jiǎn)比數(shù)值特值為對(duì)應(yīng)效率，進(jìn)而求出工作總量。
備考行測(cè)數(shù)量關(guān)系最重要的是多練習(xí)、多概括、多總結(jié)，才能突破自我完成逆襲，希望以上的總結(jié)能夠幫助同學(xué)們更好的掌握相關(guān)題型。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系：三步讓你明白和定最值問題
對(duì)于數(shù)量關(guān)系這一部分，有一類相對(duì)比較簡(jiǎn)單的題目，叫做和定最值題目。
和定最值問題顧名思義，就是幾個(gè)量的和一定時(shí)，求某個(gè)量的最大值最小值。
對(duì)于和定最值問題，它的解題原則就是：求某個(gè)量的最大值，那么其他的量就要盡可能小；相反，若求某個(gè)量的最小值，那么其他的量就要盡可能大。而我們?cè)诮忸}時(shí)，往往結(jié)合方程法去進(jìn)行求解，會(huì)更清楚更快速一點(diǎn)，通常求誰(shuí)就設(shè)誰(shuí)為未知數(shù)。
而這就是解決和定最值的三步走，第一步設(shè)未知數(shù)，第二步表示出其他量，第三步列等式。
舉個(gè)例子：5個(gè)已經(jīng)成年的男生，他們的年齡不等且年齡之和是120歲，那么這五個(gè)男生中，年齡最大的男生最大是幾歲？
那么在這里，已經(jīng)告訴我們，5個(gè)人的年齡和為120，也就是和一定，現(xiàn)在求的是年齡最大的人的最大值，那這就是非常典型的一個(gè)和定最值問題。
如下表：五人年齡依次按照從大到小排列。首先第一步，設(shè)年齡最大的人為x歲；第二步，求最大其他量盡可能小，那么先確定最小的量，最小的人又要滿足已成年，故最小的人18歲，第四大的人要盡可能小又要比最小的大，故第四大的人最小為19歲，以此類推第三大的人為20歲，第二大的最小為21歲；第三步，根據(jù)年齡之和為120可得：x+21+20+19+18=120。解得x=42。
所以數(shù)量關(guān)系是不是也沒有大家所想的都那么困難呢，也是有一些題型是我們可以去“掙扎”一下的，那么后續(xù)如果同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)如果遇到這類的題型，就可以用這三步走去進(jìn)行求解了。那么我們一起來(lái)做一道例題來(lái)檢驗(yàn)一下大家的成果吧。
例題
一個(gè)工序由5個(gè)工人負(fù)責(zé)，平均每人一個(gè)小時(shí)完成12個(gè)零件，已知每名工人的工作效率互不相同，且最慢的工人一小時(shí)可以完成3個(gè)零件，求效率最快的工人最多完成了多少個(gè)零件？（ ）
A.42B.43C.41D.40
【解析】
如下表：五人的工作效率按照從大到小依次排列，題中已知5個(gè)人平均效率，由此可得5人在一小時(shí)內(nèi)所做的總零件數(shù)，也就是5×12=60個(gè)，也就是5個(gè)人一個(gè)小時(shí)的效率總和一定，又告知效率各不相等，求最大量的最大值，那么就設(shè)最快的人每小時(shí)完成x個(gè)，緊接著讓其他量盡可能小，先確定最小，也就是最慢的工人，題中已經(jīng)告知為3個(gè)，第四大要盡量小且比最慢的大，故為4個(gè)，第三大為5，第二大為6，根據(jù)題意列出等式：x+6+5+4+3=60，解得x=42，故選A。
相信在同學(xué)們的不懈努力練習(xí)之下，一定可以熟練掌握此類題目。
行測(cè)趣味題：草逃，牛追，他們都插翅難飛
在數(shù)量關(guān)系中，行程問題分成了很多種題型，今天帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)其中較為簡(jiǎn)單的題型——牛吃草問題。牛吃草問題的題干描述一般會(huì)出現(xiàn)類似于排比句的句式并且原始固定量受到兩個(gè)主體的影響。
牛吃草的基本題型包含以下三類：
追及型牛吃草問題
特征：牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，放N頭牛去吃草且每頭牛每天吃的草量相同。牛吃草使草量減少，草自身生長(zhǎng)使草量增加。(注：牛吃草的速度大于草自身生長(zhǎng)的速度)。
假設(shè)每頭牛每天吃1份草，這片草場(chǎng)草每天的生長(zhǎng)速度為x份，t天牛把草吃完。則：原有草量=(牛每天吃掉的量-草每天生長(zhǎng)的量)×天數(shù)=(N-x)×t。
相遇型牛吃草問題
特征：牧場(chǎng)上有一片勻速枯萎的草地，放N頭牛去吃草且每頭牛每天吃的草量相同。牛吃草使草量減少，草自身枯萎也使草量減少。
假設(shè)每頭牛每天吃1份草，這片草場(chǎng)草每天的枯萎速度為x份，t天牛把草吃完。則：原有草量=(牛每天吃掉的量+草每天枯萎的量)×天數(shù)=(N+x)×t。
極值型牛吃草問題
特征：發(fā)生在追及型牛吃草問題中，但問法一般為“為了保持草永遠(yuǎn)吃不完，那么最多能放多少頭牛吃”。
當(dāng)牛吃草的速度>草生長(zhǎng)速度，草一定能吃完。當(dāng)牛吃草速度≤草生長(zhǎng)速度，草永遠(yuǎn)吃不完，而現(xiàn)在問最多放多少頭牛，故取等號(hào)。即當(dāng)牛的數(shù)量N=草生長(zhǎng)速度x時(shí)，草永遠(yuǎn)吃不完。
綜上所述，大家在解決牛吃草問題時(shí)，關(guān)鍵在于：
1、判定追及還是相遇：找出影響原始固定量的兩個(gè)因素，影響相反(一增一減)為追及，影響相同(兩減)為相遇。
2、運(yùn)用對(duì)應(yīng)牛吃草公式，一般以原有草量不變建立等量關(guān)系。
但在考試中，牛吃草問題經(jīng)常結(jié)合超市收銀臺(tái)結(jié)賬、漏船排水、窗口售票、泄洪、伐木等各種背景出現(xiàn)，所以各位同學(xué)需通過“問題以類似排比句句式描述”這一明顯特征識(shí)別牛吃草問題，再判定具體的考察題型，運(yùn)用公式解題。
通過以上介紹，相信各位同學(xué)已經(jīng)了掌握牛吃草問題的解題思路，希望各位同學(xué)多加練習(xí)，未來(lái)在考試中取得好成績(jī)。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系：小小的籬笆 大大的菜園
大家以前可能接觸過均值不等式的題目：如何用固定長(zhǎng)度的籬笆圍成一個(gè)面積最大的菜園？這個(gè)題目它無(wú)非就是研究和與積之間的關(guān)系！所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)是基于均值不等式的兩個(gè)結(jié)論，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)！
什么是均值不等式
若a、b為實(shí)數(shù)，則
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立。
均值不等式的結(jié)論
1、若a+b為定值，a、b間的差值越小，a、b乘積越大，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab取得最大值。
2、若ab為定值，a、b間的差值越小，a、b和越小，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b取得最小值。
簡(jiǎn)記為，和定差小積大，積定差小和小。
經(jīng)典例題
例1
某農(nóng)戶要用籬笆將自己的菜園圍起來(lái)，已知籬笆的總長(zhǎng)度為48米。請(qǐng)問農(nóng)戶的菜園面積最大為多少平方米？（ ）
A.100B.120C.144D.156
【答案】C【解析】設(shè)籬笆的長(zhǎng)寬分別為a，b，則2×(a+b)=48，可得a+b=24。求菜園的面積最大為多少平方米，即求ab的最大值。根據(jù)均值不等式的結(jié)論：當(dāng)a=b=12時(shí)，ab取得最大值為12×12=144。故菜園的最大面積為144平方米，正確答案為C。
例2
建造一個(gè)容積為16立方米，深為4米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米160元和每平方米100元，那么該水池的最低造價(jià)是多少元？（ ）
A.3980B.3560C.3270D.3840
【答案】D【解析】若假設(shè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池底的邊長(zhǎng)分別為a、b，則池底的面積為a×b=16÷4=4平方米，則可得水池的最低造價(jià)為4×160+(a×4×2+b×4×2)×100=640+800×(a+b)，求最低造價(jià)，即求a+b的最小值，符合乘積一定，求和最小，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，a+b的和最小為4，則最低造價(jià)為640+800×(a+b)=640+800×(2+2)=3840，故選擇D選項(xiàng)。
特殊情況
當(dāng)題目中要求a與b必須為整數(shù)，而當(dāng)a=b求解出a與b又為非整數(shù)時(shí)，如何處理呢？只要使得a與b盡可能接近即可，其他結(jié)論保持一致。
例3
長(zhǎng)方形廣場(chǎng)的周長(zhǎng)為18米，求該廣場(chǎng)的面積最大是多少平方米？(該廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬必須為整數(shù)米)（ ）
A.14B.16C.20D.22.25
【答案】C【解析】設(shè)長(zhǎng)方形廣場(chǎng)的長(zhǎng)為a，寬為b，則2×(a+b)=18，可得a+b=9，求廣場(chǎng)的最大面積為ab。根據(jù)均值不等式的結(jié)論：和定差小積大，即a+b=9一定，當(dāng)a=b=4.5時(shí)，ab有最大值為20.25。但已知長(zhǎng)和寬為整數(shù)米，所以當(dāng)a與b盡可能接近時(shí)，即a=4，b=5時(shí)，ab有最大值為20，所以廣場(chǎng)的面積為20平方米。故正確答案為C。
