數(shù)量關(guān)系行程問題解題技巧
知識(shí)點(diǎn)歸納
普通行程：（基本公式S=v*t）：
1.題型一：等距離平均速度。
（1）關(guān)鍵詞：等距離；上下坡往返。比如給出兩個(gè)路程相等，求平均速度，或者設(shè)計(jì)坡道的往返，去和回的往返路程是相同的，這種情況可以用公式。比如上坡速度為v1、下坡速度為v2，可以套用公式v=2v1v2/（v1+v2）。
（2）公式：v=2v1v2/（v1+v2）。
2.題型二：火車過橋。
（1）關(guān)鍵詞：火車/車隊(duì)過橋/隧道。
（2）考查類型：
①火車過橋：從車頭進(jìn)入，到車尾離開，可以以一個(gè)人為基準(zhǔn)觀察，走了一個(gè)橋長(zhǎng)和一個(gè)車身長(zhǎng)，故路程=橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng)。
②火車完全在橋上：以一個(gè)人為基準(zhǔn)觀察，從車頭進(jìn)入到車尾離開，路程=橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng)。
相對(duì)行程：
1.題型一：基礎(chǔ)相遇追及問題。核心公式：
（1）相遇問題，路程和=（V甲+V乙）*相遇時(shí)間，S和=V和*T。
（2）追及問題，路程差=（V甲-V乙）*追及時(shí)間，S差=V差*T。
2.題型二：多次運(yùn)動(dòng)問題（路程關(guān)系）。
（1）線形兩端出發(fā)第n次相遇：路程和S和=（2n-1）S=V和*T。n為相遇的次數(shù)，S為路程的長(zhǎng)度，比如第三次相遇，S和=（2*3-1）*S=5S。
（2）環(huán)形第n次相遇：路程和S和=n圈=V和*T?？梢岳斫鉃?，相遇幾次，路程和就是幾倍的周長(zhǎng)。
（3）環(huán)形第n次追及：路程差S差=n圈=V差*T。追上幾次，路程差就是幾倍的周長(zhǎng)。
3.題型三：流水行船問題（速度關(guān)系）。
（1）順?biāo)俣瓤欤標(biāo)俣?船速+水速。
（2）逆水速度慢，逆水速度=船速-水速。
比例行程：
（1）三量關(guān)系：路程=速度*時(shí)間。
（2）結(jié)論：
①路程一定（相同），速度與時(shí)間成反比。已知V1：V2=1：2，則兩人時(shí)間之比t1：t2=2：1。
②速度一定（相同），路程與時(shí)間成正比。已知t1：t2=1：2，則S1：S2=1：2。
③時(shí)間一定（相同），路程與速度成正比。已知V1：V2=1：2，時(shí)間都是1小時(shí)，則S1：S2=1：2。
例題剖析
1.某人在一條筆直的鐵道邊，聽到遠(yuǎn)處傳來火車的汽笛聲后，又經(jīng)過了57秒，火車經(jīng)過他面前，已知火車鳴笛時(shí)離他1360米，聲音傳播速度為340米/秒。那么，火車的速度約為多少？（ ）
A.22米/秒 B.23米/秒 C.24米/秒 D.25米/秒
【答案】A【解析】可通過畫圖分析，聲音傳播需要時(shí)間，聲音從發(fā)出到被人聽到的時(shí)間設(shè)為t1，t1=1360/340=4s，這個(gè)過程中火車也在走，因此t1的時(shí)間火車走了SBC=4*v火車。聽到聲音之后過57秒到小人面前，SAC=57*v火車，可以列式：SAB=1360=57*v火車+4*v火車=61v火車→v火車=1360/61≈22.3，接近A項(xiàng)。
【注意】1.“聽到遠(yuǎn)處傳來火車的汽笛聲后，又經(jīng)過了57秒”，出現(xiàn)“又”，題目描述很嚴(yán)謹(jǐn)，57+4是火車運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。
2.計(jì)算的時(shí)候建議大家算到下一位，計(jì)算22之后看后面余數(shù)是多少，四舍五入選A項(xiàng)。
2.有客、貨、轎三車在同一道路上同向勻速行進(jìn)，在某時(shí)刻，貨車在中，客車在前，轎車在后，且三車間距相等。一分鐘后，轎車追上了貨車；又過去了1/2分鐘，轎車追上了客車。問再過多少分鐘，貨車可以追上客車？（ ）
A.1/2 B.1 C.3/2 D.3
【答案】C【解析】“轎車追上了貨車”出現(xiàn)“追”，是追及問題，核心公式：S差=v差t?！耙环昼姾?，轎車追上了貨車”，路程差用S表示，則S=（v轎車-v貨車）*1；根據(jù)“又過去了1/2分鐘，轎車追上了客車”，2S=（v轎車-v客車）*3/2，根據(jù)問題列式：S=（v貨車-v客車）*t，三個(gè)列式都有S出現(xiàn)，計(jì)算的時(shí)候可以約掉，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，令S=1。解得：v轎車-v貨車=1①；v轎車-v客車=4/3②，②-①得：v貨車-v客車=1/3，代入S=（v貨車-v客車）*t，得：1=1/3*t→t=3min。問的是“再過”多少分鐘，3-1.5=1.5min，對(duì)應(yīng)C項(xiàng)。
【注意】追及問題：假設(shè)甲在前面，乙在后面追，S差=S乙-S甲=v乙t-v甲t，時(shí)間相同，則S差=（v乙-v甲）t，路程差是兩人出發(fā)時(shí)，起點(diǎn)的距離差。因此追及問題不需要考慮得太復(fù)雜，只看起點(diǎn)之間的距離即可。
3.甲、乙兩艘船分別位于河流的上下游。甲順流而下需要4天時(shí)間，逆流而返需要6天。若乙的靜水速度是甲的1/2，那么乙逆流而上需要（ ）天。
A.8 B.12 C.14 D.16
【阿安】D【解析】流水行船問題，公式：路程=速度*時(shí)間。給了兩個(gè)時(shí)間，可以賦值總路程為時(shí)間4和6的公倍數(shù)12，甲船：V順=V甲+V水=12/4=3①，V逆=V甲-V水=12/6=2②，則V甲=（①+②）/2=5/2，V水=（①-②）/2=1/2，已知“乙的靜水速度是甲的1/2”，則V乙=V甲*1/2=5/2*1/2=5/4，V逆=V乙-V水=5/4-1/2=3/4，t逆=12÷（3/4）=16，對(duì)應(yīng)D項(xiàng)。
【注意】賦值技巧總結(jié)（三量關(guān)系）：A=B*C。
1.總量=效率*時(shí)間（知多個(gè)完工時(shí)間，賦總量）。
2.路程=速度*時(shí)間（知多個(gè)行駛?cè)虝r(shí)間，賦路程）。
專項(xiàng)突破
1.某鐵路橋長(zhǎng)1000米，一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時(shí)間為80秒，問火車速度為多少？（ ）
A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5米/秒 D.500米/分
【答案】A【解析】設(shè)火車長(zhǎng)為L、速度為V?；疖囘^橋過程，套公式：S=1000+L=120*V①?；疖囃耆^橋，套公式：S=1000-L=80*V②，由①+②可得：2000=200V，解得V=10m/s，對(duì)應(yīng)A項(xiàng)。
2.某宣講團(tuán)甲宣傳員騎摩托車從紅星村出發(fā)以20公里/小時(shí)的速度去相距60公里的八一村，1小時(shí)后由于路面濕滑，速度減少一半，在甲出發(fā)1小時(shí)后，乙宣傳員以50公里/小時(shí)的速度開車從紅星村出發(fā)追甲，當(dāng)乙追上甲時(shí)，他們與八一村的距離為（ ）。
A.25公里 B.30公里 C.35公里 D.40公里
【答案】C【解析】行程問題，一個(gè)人去追另一個(gè)人，直線追及問題，公式：S差=V差*T=（V乙-V甲）*T?！八俣葴p少一半”即速度變?yōu)?0公里/小時(shí)，畫圖理解，乙在甲出發(fā)一個(gè)小時(shí)以后才出發(fā)，路程差是二人同時(shí)出發(fā)時(shí)相距的距離，S差=20*1=20，代入公式：20=（50-10）*T，解得T=20/40=0.5h，則S乙=50*0.5=25km，所求=60-25=35km，對(duì)應(yīng)C項(xiàng)。
3.在400米環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時(shí)從起點(diǎn)背向練習(xí)跑步。已知甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。當(dāng)他們第4次相遇時(shí)，甲還需要跑多少秒才返回起點(diǎn)？（ ）
A.40 B.45 C.50 D.55
【答案】A【解析】“甲、乙兩人同時(shí)從起點(diǎn)背向練習(xí)跑步”，環(huán)形相遇問題，公式：Sn=n圈=V和*T。相遇4次，則S4=4圈=4*400=1600，代入公式：1600=（5+3）*T，解得T=1600/8=200秒，求甲還需要跑多少秒返回起點(diǎn)，S甲=5*200=1000米，1000/400=2圈??200米，最后還剩200米才返回起點(diǎn)，所求=200/5=40s，對(duì)應(yīng)A項(xiàng)。
【注意】環(huán)形相遇：Sn=n圈=V和*T。
4.在同一環(huán)形跑道上小陳比小王跑得慢，兩人同一方向跑步時(shí)，每隔12分鐘相遇一次；若兩人速度不變，相反方向跑步，則每隔4分鐘相遇一次。問兩人各跑完一圈花費(fèi)的時(shí)間小陳比小王多多少分鐘？（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B【解析】“同一方向”是追及關(guān)系，“相反方向跑步”是相遇的過程。環(huán)形跑道，追及的路程差是跑道的周長(zhǎng)，用S表示。根據(jù)題意列式：S=（v王-v陳）*12=（v王+v陳）*4，根據(jù)兩者量相等，求速度比例關(guān)系，12v王-12v陳=4v王+4v陳→8v王=16v陳→v王：v陳=2：1。知道了速度，可以列方程，也可以設(shè)特殊值，為了簡(jiǎn)便，選擇設(shè)特殊值，賦值v王=2、v陳=1，則S=（2-1）*12=12，t王=12/2=6分鐘，t陳=12/1=12分鐘，差值=12*6=6分鐘。
【注意】掌握好本題，環(huán)形問題就不會(huì)有太大的問題。
5.甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，甲、乙的速度比為5：4。相遇后，甲車減速20%，乙車增速20%，兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)。當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車離A地還有10千米。則A、B兩地相距（ ）千米。
A.400 B.450 C.500 D.600
【答案】B【解析】難的行程問題，不好直接理解題干，需要畫圖理解。假設(shè)相遇點(diǎn)為C，兩人從出發(fā)到相遇，時(shí)間相同，路程和速度成正比，假設(shè)AC段路程為5S，則BC段路程為4S，之后兩人改變速度，甲車變?yōu)関甲’=5*（1-20%）=4；乙車變?yōu)関乙’=4*（1+20%）=4.8。甲走CB段的時(shí)候，假設(shè)乙從C點(diǎn)走到D點(diǎn)，時(shí)間相同，甲走4S，根據(jù)比例關(guān)系，乙走4.8S，列式：AD=5S-4.8S=10km→0.2S=10km→S=50km，AB=9S=450km。
【注意】1.本題可以賦值，為了防止大家擔(dān)心，老師用的設(shè)未知數(shù)的方法。
2.相同時(shí)間，速度比=路程比。
3.相遇前：5：4=AC：BC；相遇后：4：4.8=BC：（AC-10）。
4.猜題方法：通過速度比為5：4，知道路程之比為5：4，可以猜測(cè)路程是5+4=9的倍數(shù)。
6.甲、乙兩人在一條長(zhǎng)100米的直路上來回跑步，甲的速度是3m/s，乙的速度是2m/s，如果他們同時(shí)分別從路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇多少次？（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】B【解析】涉及“共相遇多少次”，說明是考多次相遇問題。多次相遇的本質(zhì)是一個(gè)模型，基本公式：S和=（2n-1）S，S為直線長(zhǎng)度，n為相遇次數(shù)。S為直路總長(zhǎng)100，因速度單位是m/s，統(tǒng)一單位，10min=600s，列式：v和t=（2n-1）???????????????????????*100，代入數(shù)據(jù)：（3+2）*600=（2n-1）*100→30=2n-1→n=31/2=15.5，沒有到16次，只能向下取整，見了15次面。
【注意】1.線形兩端出發(fā)多次相遇問題：S和=（2n-1）S=v和*t。
2.相遇了幾次（已經(jīng)發(fā)生的相遇）——向下取整。
3.行程問題，稍有難度，考試建議大家往后放，不要在此類題目上耗費(fèi)太多????????????????時(shí)間。
7.一戰(zhàn)斗機(jī)從甲機(jī)場(chǎng)勻速開往乙機(jī)場(chǎng)，如果速度提高25%，可比原定時(shí)間提前12分鐘到達(dá)；如果以原定速度飛行600千米后，再將速度提高1：3（分?jǐn)?shù)），可以提前5分鐘到達(dá)。那么甲乙兩機(jī)場(chǎng)的距離是多少千米？
A.750 B.800 C.900 D.1000
【答案】C【解析】第一種情況：如果提速25%，可比原定時(shí)間提前12分鐘到達(dá)。可知，提速前后速度之比為4∶5，路程相同時(shí)，時(shí)間與速度成反比，則時(shí)間之比為5∶4。節(jié)省了1份等于12分鐘，所以原計(jì)劃用時(shí)5×12=60分鐘；第二種情況：如果原定速度飛行600千米后，再將速度提高1：3（分?jǐn)?shù)），可以提前5分鐘到達(dá)?？芍岣咚俣惹昂笏俣戎葹?∶4，則在提速后所走的路程內(nèi)，時(shí)間之比為4∶3，節(jié)省了1份等于5分鐘，則原計(jì)劃用時(shí)4×5=20分鐘。故前600千米用時(shí)60-20=40分鐘，則全程路程=600：40×60=900千米。
【注意】本題若設(shè)未知數(shù)列方程也可求解，但所需時(shí)間長(zhǎng)，計(jì)算量大，在考試緊張的時(shí)間下，運(yùn)用比例法可快速求解。
重要結(jié)論
1.平均速度
平均速度公式：平均速度=總路程÷總時(shí)間。
若物體前一半時(shí)間以速度v1運(yùn)動(dòng)，后一半時(shí)間以速度v2運(yùn)動(dòng)，則全程的平均速度為（v1+v2）/2。
若物體前一半路程以速度v1運(yùn)動(dòng)，后一半路程以速度v2運(yùn)動(dòng)，則全程的平均速度為（2v1v2）/（v1+v2）。
2.多次相遇問題
從兩地同時(shí)相向出發(fā)的直線多次相遇問題中，第n次相遇時(shí)，每個(gè)人走的路程等于他第一次相遇時(shí)所走路程的（2n-1）倍。
環(huán)形相遇問題中每次相遇所走的路程之和是一圈。如果最初從同一點(diǎn)出發(fā)，那么第n次相遇時(shí)，每個(gè)人所走的總路程等于第一次相遇時(shí)他所走路程的n倍。
【注意】相遇問題基本公式適用于“同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過相同時(shí)間相遇”的情況，當(dāng)出現(xiàn)“不同時(shí)出發(fā)”或“沒有相遇（還相隔一段路）”時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為“同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過相同時(shí)間相遇”，再應(yīng)用公式。
追及問題基本公式適用于“同時(shí)出發(fā)，同向而行，經(jīng)過相同時(shí)間追上”的情況。與相遇問題一樣，如果出現(xiàn)不標(biāo)準(zhǔn)情況，都應(yīng)轉(zhuǎn)化為“同時(shí)出發(fā)，同向而行，經(jīng)過相同時(shí)間追上”的標(biāo)準(zhǔn)情況再求解。
以上就是如何解決行程問題的詳細(xì)講解，通過學(xué)習(xí)能有效提高行測(cè)做題速度，希望各位同學(xué)均能熟練掌握解題方法，在考試中輕松應(yīng)對(duì)。
