數(shù)量關(guān)系
解決多者合作的不二法門
行測(cè)考試考查的是考生的分析思維能力，需要通過方法技巧提速，擺脫做題慢的現(xiàn)狀。行測(cè)中數(shù)量關(guān)系更需要考生把方法融會(huì)貫通，學(xué)會(huì)舉一反三。接下來帶大家一同看下多者合作的題目如何利用特值方法巧解。
一、題型歸納
1、當(dāng)已知不同合作方式下的完工時(shí)間時(shí)，設(shè)工作總量為各完工時(shí)間的公倍數(shù)，一般設(shè)為最小公倍數(shù)。
例1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做，6天可完成;甲乙合做，2天可完成;則乙單獨(dú)做，( )天可完成。
A.1.5 B.3 C.4 D.5
【答案】B。解析：設(shè)工程量為6，那么甲一天做1，甲、乙一天共做3，可知乙一天做3-1=2。因此乙單獨(dú)做要6÷2=3天可以完成。
2、當(dāng)已知不同合作對(duì)象的效率比時(shí)，根據(jù)效率比設(shè)效率。
例2.甲、乙、丙三人共同完成一項(xiàng)工作需要6小時(shí)。如果甲與乙的效率比為1∶2，乙與丙的效率比為3∶4，則乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要多少小時(shí)?（ ）
A.10 B.17 C.24 D.31
【答案】B。解析：由題可知，甲、乙、丙的工作效率之比為 3∶6∶8，則可設(shè) 甲、乙、丙的工作效率分別為 3、6、8，故總工作量為(3+6+8)×6，因此乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要(3+6+8)×6÷6=17小時(shí)。
二、鞏固練習(xí)
1.某項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要30天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)施工需要25天完成。 甲隊(duì)單獨(dú)施工了4天后，改由兩隊(duì)一起施工，期間甲隊(duì)休息了若干天，最后整個(gè)工程共 耗時(shí)19天完成，問甲隊(duì)中途休息了幾天?（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】D。解析：設(shè)工程總量為150，則甲效率為5，乙效率為6。乙一共干了19-4=15 天，工作量為15×6=90，剩下150-90=60，需要甲干60÷5=12天，故甲隊(duì)中途休息了19-12=7天。
2.甲、乙、丙三人共同完成一項(xiàng)工程，他們的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙兩人合做6天，再由乙單獨(dú)做9天，完成全部工作的60%。若剩下的工程由丙單獨(dú)完成，則丙所需要的天數(shù)是：（ ）
A.9天 B.11天 C.10天 D.15天
【答案】C。解析：設(shè)甲、乙、丙每天完成的工作量分別為5、4、6，甲、乙合作6天完成6×9=54，乙單獨(dú)做9天完成36，則工程總量為(54+36)÷60%=150。余下150-90=60，丙單獨(dú)完成需要60÷6=10天，答案為C。
當(dāng)“年齡”遇到“屬相”
在公務(wù)員行測(cè)考試中，年齡問題是比較常見的一種題型。而在年齡問題中，也會(huì)出現(xiàn)和屬相相關(guān)的題目，讓很多考生感覺無從下手。今天，為考生們分享一下如何解決年齡問題中的屬相問題。
一、知識(shí)鋪墊
十二生肖按次序依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，12年一輪，即12年一個(gè)周期，屬相相同即年齡差為12的整數(shù)倍。
二、例題展示
【例題1】上一個(gè)虎年老王和小趙的年齡和為54歲，上上個(gè)虎年老王年齡是小趙年齡的6倍多。如兩人年齡均按出生的陰歷年份計(jì)算，且出生的當(dāng)個(gè)陰歷年為0歲，則老王出生于：（ ）
A.鼠年 B.虎年 C.龍年 D.馬年
【解析】兩個(gè)連續(xù)虎年之間差12歲，則上上個(gè)虎年老王和小趙的年齡和為54-12×2=30，且老王年齡是小趙年齡的6倍多，30÷(6+1)=4……2;故此時(shí)小趙4歲，老王26歲，則老王上4個(gè)虎年時(shí)2歲。由生肖順序推算可知，老王出生于鼠年。故本題答案為A。
【例題2】一家三口人的屬相和生日都相同，父母的歲數(shù)之和是兒子的6倍，而兒子尚未滿15歲。問媽媽可能多少歲?（ ）
A.30歲 B.36歲 C.40歲 D.42歲
【解析】設(shè)兒子的年齡為x，則根據(jù)屬相相同的年齡差距，父母的年齡可分別設(shè)為x+12m、x+12n，依題意得2x+12(m+n)=6x，即x=3(m+n)，結(jié)合實(shí)際情況m、n≥2，x至少為12，此時(shí)媽媽年齡為12+24=36歲。故本題答案為B。
【例題3】某業(yè)務(wù)處長和科員兩人屬相相同，科員在第一個(gè)本命年時(shí)處長是第三個(gè)本命年。科員今年20歲，當(dāng)處長年齡是科員年齡的2倍時(shí)，需要經(jīng)過的時(shí)間是：（ ）
A.7年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】由題意可知，處長與科員的年齡差為24，當(dāng)處長年齡是科員年齡的2倍時(shí)，科員的年齡應(yīng)為他們的年齡差，即24歲。科員今年20歲，到24歲需要經(jīng)過的時(shí)間是4年。故本題答案為B。
在解年齡問題中的屬相問題時(shí)，要根據(jù)相同屬相年齡相差為12的整數(shù)倍這一條件，構(gòu)建等量關(guān)系求解，快去找些題目練習(xí)一下吧。
行測(cè)利潤問題：一升一降，什么時(shí)候會(huì)最大呢
在行測(cè)備考的時(shí)候，遇到利潤問題，大家心里肯定還是能夠接受的，當(dāng)往下做的時(shí)候，總是會(huì)遇到一些意外，這有點(diǎn)小問題，那有點(diǎn)不一樣，那么利潤問題如何做起來高效，并且能夠做對(duì)呢?今天跟著一起來看一看利潤問題，有的時(shí)候我們也可以做出來的，只要掌握其中的技巧，同樣可以把題目求解出來。我們來看一道題目，來體會(huì)一下利潤問題是如何求解的。
例：某商店出售A商品，若每天賣100件，則每件可獲利6元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若A商品每件漲1元錢，每天就少賣10件，為使每天獲利最大化，A商品應(yīng)漲價(jià)：（ ）
A.6元 B.4元 C.2元 D.10元
解析：這道題目說了一件什么事呢?就是A商品每件漲價(jià)就會(huì)導(dǎo)致數(shù)量賣出的減少，那么在什么時(shí)候可以獲得利潤最大化呢?實(shí)際上類似這樣的問題，我們可以假設(shè)漲價(jià)x元，實(shí)際的利潤為y，那么實(shí)際的利潤就應(yīng)該等于漲價(jià)后單個(gè)的利潤乘以之后的數(shù)量，因此可以得到：y=(6+x)(100-10x)，得到了這樣一個(gè)一元二次方程，那么如何求解y的最大值呢?可能有的人會(huì)想到高中所學(xué)的對(duì)稱軸，最大值最小值的復(fù)雜公式，如果用公式算的話，可以求解，但是在計(jì)算上面計(jì)算量還是比較大的，所以我們想用一個(gè)簡單的方法來把問題求解出來。怎么來求解呢?有兩個(gè)括號(hào)，我們讓第一個(gè)括號(hào)里面的式子等于0，求解出一個(gè)x=-6，再讓第二個(gè)括號(hào)里面的式子等于0，求解出第二個(gè)x=10，那么取兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)2，就是當(dāng)x=2的時(shí)候獲得最大的利潤。那么本道題就可以求解出來了，答案就選擇C選項(xiàng)。如果問題問其他的也是一樣，如果問獲得最大利潤時(shí)的銷量為多少，那么就是100-10x=80件，所以x求解出來后，不管后面問什么問題，我們都可以進(jìn)行求解。
其實(shí)我們可以看到，這道題目我們?cè)趺醋龅哪?我們實(shí)際上就是把所求用未知數(shù)x來進(jìn)行表示，然后對(duì)于x的取值進(jìn)行簡單求解，求解的方法也是比較簡單，容易讓大家熟記。因此這類題目希望各位備考的考生能夠用對(duì)方法，快速的把問題求解清楚。利潤問題并不可怕，找準(zhǔn)方向即可求解出相應(yīng)的結(jié)果。最后希望大家能夠跟上我們的腳步，每天都有所收獲。
“多條件”排列組合問題
排列組合問題在公務(wù)員行測(cè)考試的時(shí)候，很多同學(xué)是不予考慮直接放棄的，一直給大家留下了“排列組合很難”的固化印象，而實(shí)際上很多排列組合問題依照模型來做，可以說列式簡單、計(jì)算量又小，也可以說是一種極其省時(shí)間的題型，所以，如果能掌握多條件的排列組合問題，那么就可以多做一道數(shù)量關(guān)系題。
我們?cè)谧龆鄺l件的排列組合問題時(shí)，重點(diǎn)就在于對(duì)條件的整理，我們都知道，在排列組合的時(shí)候有一些基礎(chǔ)方法：優(yōu)限法(優(yōu)先考慮有絕對(duì)限制條件的元素)、捆綁法(元素相鄰)、插空法(元素不相鄰)、間接法(正難則反)等等，而多條件排列組合問題其實(shí)也逃不出這幾種基礎(chǔ)方法的組合，只要能夠按照步驟一步一步將所有條件按照方法滿足，多條件的排列組合問題也自然迎刃而解了。
例1.三個(gè)學(xué)生和兩個(gè)老師在排練合唱隊(duì)形時(shí)候需要站成一隊(duì)，兩個(gè)老師必須站一起，且不能站在最邊上，那么共有幾種排列方法?（ ）
A.36 B.24 C48 D.120
【答案】B。解析：求方法數(shù)，是排列組合問題的典型題型。在這道題目里，我們一共有兩個(gè)條件：(1)兩個(gè)老師必須相鄰。(2)老師不能站在最左側(cè)或者最右側(cè)。首先我們來整理一下這兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的方法，(1)必須相鄰用捆綁法。(2)不站兩側(cè)用優(yōu)限法。接下來方法確定了則一步一步進(jìn)行排序，首先將兩個(gè)老師看成一個(gè)整體，內(nèi)部存在順序要求為
，捆綁完后因?yàn)閮蓚€(gè)老師需要插空，則優(yōu)先排好3個(gè)學(xué)生，由于有順序要求，則為，最后，將捆綁的老師放入他們之間的空里面，2個(gè)空選一個(gè)，則為，由于分三步，分步計(jì)算，方法數(shù)相乘：×=24，故選B。
例2.兩對(duì)夫婦各帶一個(gè)小孩乘坐有6個(gè)座位的游覽車，游覽車每排只有1個(gè)座位。為安全起見，車的首尾兩座一定要坐兩位爸爸;兩個(gè)小孩一定要排在一起。那么，這6人的排座方法有多少種?（ ）
A.36 B.24 C48 D.120
【答案】B。解析：求方法數(shù)，是排列組合問題的典型題型。在這道題目里，我們一共有兩個(gè)條件：(1)兩個(gè)爸爸分別坐首尾。(2)兩個(gè)小孩必須坐一起。首先我們來整理一下這兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的方法。(1)爸爸有限制用優(yōu)限法，(2)小孩一起元素相鄰用捆綁法。接下來方法確定了則一步一步進(jìn)行排序，第一步，先將兩個(gè)爸爸排好，一頭一尾，有順序要求則為，第二步，將小孩看成一個(gè)整體，有順序要求則為，先排列大集合，兩個(gè)媽媽和小孩共三個(gè)大整體，有順序要求則為。由于分兩步，分步計(jì)算，方法數(shù)相乘：×=24，故選B。
總結(jié)：解決多條件的排列組合問題時(shí)，優(yōu)限法→捆綁法→插空法往往是以這樣的順序來進(jìn)行步驟的，大家也可以將它作為一種規(guī)律性的小技巧應(yīng)用在題目中。
為何總是“差一點(diǎn)就成功”
在行測(cè)數(shù)量關(guān)系的試題中有這么一種題型，我們求解的過程中總要保證其在最不利的情況都能保證發(fā)生，也就是找離“成功”僅差“一步”的情況，今天帶你學(xué)習(xí)這種題型——最不利原則。
一、什么是最不利原則
我們通過一個(gè)簡單的例子來看一下：
例.在一個(gè)紙箱內(nèi)放入99個(gè)紅球、1個(gè)黑球，這些球除顏色以外，形狀、大小、質(zhì)地都是一樣的，現(xiàn)隨機(jī)從中不放回的摸球，每次摸一個(gè)，問至少摸幾次就有可能摸到黑球?至少摸幾次才能保證摸到黑球?
這個(gè)題一共兩問，我們先來看下第一問，至少摸幾次就有可能摸到黑球?相信大家都有答案了，摸1次就有可能?！爸辽佟陀锌赡堋边@種問法是考慮最有利的情況下讓事件發(fā)生，即考慮運(yùn)氣最好的情況。接下來看第二問，至少摸幾次才能保證摸到黑球?此時(shí)摸1次可以保證摸到黑球嗎?不能!摸1次有可能摸到的是紅球。摸2次呢?2次是不是也保證不了?摸2次可能摸出的兩個(gè)同樣都是紅球。3次、4次呢?是不是都保證不了……直到我們把紅球全都拿出來后，再去摸1次才能保證摸到的是黑球。第二種問法就是考慮最不利的情況下讓事件發(fā)生，即考慮最糟糕的情況、離成功一步之差的情況。而最后的答案是在最不利的情況下再去摸1次就可以了，即保證數(shù)=最不利情況數(shù)+1。
通過上面的例題我們可以發(fā)現(xiàn)，最不利原則的題型特征是題目所求出現(xiàn)類似“至少……才能保證(就一定)”的表述。這類題目需要考慮最不利的情況，即與成功一線之差的情況，題目所求結(jié)果一般為最不利情況數(shù)+1。
二、經(jīng)典例題
例1.一個(gè)盒子里裝有紅球5個(gè)、黃球9個(gè)、藍(lán)球12個(gè)，每次摸1個(gè)球放到盤子里，最少摸幾次，才能保證一定有6個(gè)是同色的?（ ）
A.6 B.15 C.16 D.17
【解析】答案C。題干問法中出現(xiàn)“至少…才能保證”，屬于最不利原則的題目，要考慮離成功一步之差的情況，即每個(gè)顏色的球都先拿出5個(gè)，都差一點(diǎn)有6個(gè)但是沒有達(dá)到6個(gè)，然后再從剩下的球中摸1個(gè)，就會(huì)有6個(gè)球是同色的。所以至少要摸出5+5+5+1=16次。故正確答案為C。
例2.某高校舉辦的一次讀書會(huì)共有37位學(xué)生報(bào)名參加，其中中文、歷史、哲學(xué)專業(yè)各有10位學(xué)生報(bào)名參加了此次讀書會(huì)，另外有4位化學(xué)專業(yè)的學(xué)生和3位物理專業(yè)的學(xué)生也報(bào)名參加了此次讀書會(huì)，那么一次至少選出多少位學(xué)生，將能保證選出的學(xué)生中至少有5位學(xué)生是同一專業(yè)的?（ ）
A.5 B.12 C.19 D.20
【解析】答案D。要保證選出的學(xué)生中至少有5位學(xué)生是同一專業(yè)的，考慮最不利情況：選出中文、歷史、哲學(xué)和化學(xué)專業(yè)各4位學(xué)生，物理專業(yè)3位學(xué)生。此時(shí)從剩下的學(xué)生中選出一人，即可滿足條件。所以至少需要選出4+4+4+4+3+1=20位學(xué)生。故正確答案為D。
最不利原則題目解題的關(guān)鍵點(diǎn)就是找到“差一點(diǎn)就成功”的情況，掌握這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)最不利原則這個(gè)“倒霉孩子”將變得很可愛。
