行測(cè)數(shù)量關(guān)系：“公約數(shù)”與“公倍數(shù)”問(wèn)題
“公約數(shù)”與“公倍數(shù)”問(wèn)題
一、什么是公約數(shù)
如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的約數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公約數(shù)”，公約數(shù)中最大的稱為最大公約數(shù)。
二、什么是公倍數(shù)
指在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，這些倍數(shù)就是它們的公倍數(shù)。
三、方法與技巧
兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法。
一般采用短除法，即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到所得的商互質(zhì)為止。
①將共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
②將共同的質(zhì)因數(shù)、各自剩余互質(zhì)的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
【例】求12和28的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)
12、28的最大公約數(shù)：2×2=4；
12、28的最小公倍數(shù)：2×2×3×7=84。
四、例題展示
【例1】有一種紅磚，長(zhǎng)24厘米、寬12厘米、高5厘米，至少用多少塊紅磚才能拼成一個(gè)實(shí)心的正方體（ ）？
A.600塊
B.800塊
C.1000塊
D.1200塊
【答案】D【解析】由題可知，要想拼成正方體，則每條邊的長(zhǎng)度必須是24、12、5，即120的最小公倍數(shù)。此時(shí)每條邊上需要的磚數(shù)分別是5、10、24，因此至少需要紅磚為5×10×24=1200塊。因此選擇D。
【例2】某企業(yè)員工編號(hào)為6位自然數(shù)，其中前兩位代表入職年份的最后兩位數(shù)，第3位代表所屬部門(mén)，后3位代表員工當(dāng)年在部門(mén)中的入職順序。2018年入職的員工小張發(fā)現(xiàn)，自己的員工編號(hào)能同時(shí)被5、9和101整除。問(wèn)當(dāng)年他所在的部門(mén)最少可能有多少人入職（ ）？
A.不到250人
B.250～499人之間
C.500～749人之間
D.超過(guò)749人
【答案】B【解析】由題可知，小張18年入職，那么工號(hào)前兩位為18。又因?yàn)樵撍膯T工編號(hào)能同時(shí)被5、9、101整除，因此，即為4545的倍數(shù)。再者，前兩位是18且是4545倍數(shù)的六位數(shù)只有181800，及其41倍的186345。最后，已知后三位為員工入職順序，故其部門(mén)18年最少有345人入職。因此選擇B。
【例3】箱子里有標(biāo)號(hào)為1-10的10個(gè)球，小張隨機(jī)取了三個(gè)球并記下號(hào)碼后將球放回，小李也隨機(jī)取了三個(gè)并記下號(hào)碼。這時(shí)發(fā)現(xiàn)兩人取的球的號(hào)數(shù)之積都恰好是144。已知小張的號(hào)數(shù)之和比小李的大，那么小張取的球的號(hào)數(shù)之和是多少（ ）？
A.19
B.17
C.16
D.14
答案】A【解析】由題可知，三個(gè)小球的編號(hào)乘積均為144，那么對(duì)144進(jìn)行因式分解可得：144=2×2×2×2×3×3。又因小球編號(hào)各不相等，則可得144=9×8×2=8×6×3。又因?yàn)樾埖奶?hào)碼數(shù)之和較大，所以之和應(yīng)為9+8+2=19。因此選擇A。
公約數(shù)和公倍數(shù)的應(yīng)用
一、概念區(qū)分
公約數(shù)：某個(gè)數(shù)是幾個(gè)整數(shù)共同的約數(shù)。公約數(shù)中最大的稱為最大公約數(shù)。
公倍數(shù)：在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，它們之間相同的倍數(shù)就是它們的公倍數(shù)。這些公倍數(shù)中最小的稱為這些整數(shù)的最小公倍數(shù)。
二、根據(jù)題目特征判斷所考查知識(shí)點(diǎn)
公約數(shù)
【例1】桌上放有三根繩子，長(zhǎng)度分別是120厘米、160厘米、240厘米，現(xiàn)在要把它們截成長(zhǎng)度相等的小段，每根都不能有剩余，那么最少可截成多少段（ ）?
A.13
B.12
C.11
D.10
【答案】A【解析】要保證截成相同長(zhǎng)度的小段，每根都不剩余，則每小段的長(zhǎng)度必須是120、160、240的約數(shù)，要保證截成的小段最少，則每小段的長(zhǎng)度應(yīng)是120、160、240的最大公約數(shù)。120、160和240的最大公約數(shù)為40，則有120÷40=3，160÷40=4，240÷40=6，所以最少截成3+4+6=13段。故選A。
公倍數(shù)
【例2】有一個(gè)電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴。中午12點(diǎn)整，電子鐘響鈴又亮燈。下一次既響鈴又亮燈的時(shí)刻是多少（ ）?
A.下午1點(diǎn)
B.下午2點(diǎn)
C.下午3點(diǎn)
D.下午4點(diǎn)
【答案】C【解析】每?jī)纱瘟翢舻臅r(shí)間間隔是9分鐘的倍數(shù);每?jī)纱雾戔彽臅r(shí)間間隔是60分鐘的倍數(shù)。所以，下次既響鈴又亮燈的時(shí)間間隔是9和60的最小公倍數(shù)，為180。則下次既響鈴又亮燈是12點(diǎn)整過(guò)180分鐘，即下午3點(diǎn)，故選C。
三、鞏固練習(xí)
1.甲、乙、丙三人定期到某棋館學(xué)圍棋，甲每隔3天去一次，乙每隔4天去一次，丙每隔5天去一次。若2016年2月10日三人在棋館相遇，則下次三人在棋館相遇的日期是：（ ）
A.4月8日
B.4月11日
C.4月9日
D.4月10日
【答案】D【解析】“每隔3天”即“每4天”，“每隔4天”即“每5天”，“每隔5天”即“每6天”，下次三人在棋館相遇經(jīng)過(guò)的天數(shù)為4、5、6的最小公倍數(shù)60。2016年為閏年，2月有29天，從2月11日算起，2月還剩19天，3月有31天，19+31=50，則三人下次在棋館相遇的日期是2016年4月10日，故選D。
2.若A、B、C三種文具分別有38個(gè)、78個(gè)和128個(gè)，將每種文具都平均分給學(xué)生，分完后剩下2個(gè)A，6個(gè)B，20個(gè)C，則學(xué)生最多有多少人（ ）?
A.9
B.12
C.18
D.36
【答案】D【解析】每種文具都平均分給學(xué)生，分完后剩下2個(gè)A，6個(gè)B，20個(gè)C，則學(xué)生人數(shù)是38-2=36、78-6=72、128-20=108的公約數(shù)，這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是36，因此學(xué)生最多有36人。
