行測(cè)數(shù)量關(guān)系：掌握解題原則 巧解和最定值
抓住和定最值問(wèn)題的“牛鼻子”
一提起行測(cè)中的數(shù)量關(guān)系，一些同學(xué)都會(huì)“惴惴不安”，感覺(jué)學(xué)習(xí)中“手足無(wú)措”，考試中也沒(méi)有足夠時(shí)間去做，實(shí)際上，只要我們能夠掌握其中的技巧，有很多數(shù)量關(guān)系的題目就能夠“迎刃而解”。今天，就來(lái)帶大家一起去走進(jìn)“和定最值”的世界，去學(xué)習(xí)和定最值的一些解題的方法。
談到和定最值，從字面意思來(lái)理解，就是在多個(gè)量和一定的情況下，求解其中某個(gè)量的最大值或最小值，而具體這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該如何求解，大家只需記住一個(gè)基本的解題原則：在和一定時(shí)，要想一個(gè)量盡可能的大，那必然要求其他量盡可能的小；反之，要想讓一個(gè)量盡可能的小，就要讓其他量盡可能的大。接下來(lái)我們通過(guò)例題來(lái)進(jìn)行消化吸收：
例1：從某物流園區(qū)開(kāi)出6輛貨車(chē)，這6輛貨車(chē)的平均裝貨量為62噸，已知每輛貨車(chē)載重量各不相同且均為整數(shù)，最重的裝載了71噸，最輕的裝載了54噸。問(wèn)這6輛貨車(chē)中裝貨第三重的卡車(chē)至少裝載了多少?lài)?/span>？（ ）
A.59 B.60 C.61 D.62
【答案】B【解析】已知6輛車(chē)的平均裝載量一定，即6輛車(chē)裝載量的和一定，求第三重的卡車(chē)裝載量的最小值，可以判定為和定最值問(wèn)題。在總裝載量一定的情況下，只需讓其他卡車(chē)的裝載量盡可能的大，最重的是71噸，結(jié)合“各不相同、均為整數(shù)”的條件，則第二重的最大值為70噸；而四重最大值取決于第三重的數(shù)據(jù)，設(shè)第三重的最小值為X，第四到第六的卡車(chē)載重最大依次為X-1、X-2、54。此時(shí)可構(gòu)造等量關(guān)系71+70+X+X-1+X-2+54=62×6=372，解得X=60故本題答案應(yīng)選擇B。
例2：某地10戶貧困農(nóng)戶共申請(qǐng)扶貧小額信貸25萬(wàn)元。已知每人申請(qǐng)金額都是1000元的整數(shù)倍，申請(qǐng)金額最高的農(nóng)戶申請(qǐng)金額不超過(guò)申請(qǐng)金額最低農(nóng)戶的2倍，且任意2戶農(nóng)戶的申請(qǐng)金額都不相同。問(wèn)申請(qǐng)金額最低的農(nóng)戶最少可能申請(qǐng)多少萬(wàn)元信貸？（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
【答案】B【解析】已知農(nóng)戶申請(qǐng)信貸的總金額，求申請(qǐng)金額最低的農(nóng)戶最少能申請(qǐng)多少萬(wàn)元，可以判定為和定最值問(wèn)題，在總金額為25萬(wàn)元的情況下，只需讓其他農(nóng)戶申請(qǐng)的金額盡可能的多，設(shè)申請(qǐng)金額最少的農(nóng)戶申請(qǐng)的金額為X萬(wàn)元，申請(qǐng)金額最多的農(nóng)戶不能超過(guò)他的兩倍，那最多為2X，而每個(gè)農(nóng)戶申請(qǐng)的金額都不相同，且都是1000元的整數(shù)倍，那么其他農(nóng)戶的最大值依次為2X-0.1萬(wàn)元、2X-0.2萬(wàn)元、2X-0.3萬(wàn)元……2X-0.8萬(wàn)元，可得2X+2X-0.1+2X-0.2+2X-0.3+2X-0.4+2X-0.5+2X-0.6+2X-0.7+2X-0.8+X=25，化簡(jiǎn)后可得19X-3.6=25，解得X≈1.505，因所求金額只能是0.1萬(wàn)元的整數(shù)倍，所以金額最低農(nóng)戶的最小值取1.6萬(wàn)元，故此題答案選擇B。
紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行，通過(guò)以上兩道題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于和定最值這類(lèi)問(wèn)題，它的關(guān)鍵就在于識(shí)別出這類(lèi)題目后，運(yùn)用我們的解題原則進(jìn)行求解，希望各位考生學(xué)會(huì)后能夠多加練習(xí)，之后求解和定最值這類(lèi)問(wèn)題定能做到“輕車(chē)熟路”。
行測(cè)和定最值不要急，三個(gè)步驟倆注意
在行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系部分可謂是讓人望而生畏，很多考生都想整體放棄，但數(shù)量關(guān)系的題目也是有難有易的，我們可以選擇一些較簡(jiǎn)單的題型來(lái)重點(diǎn)攻克，比如現(xiàn)在要介紹的和定最值問(wèn)題。和定最值答題思路和做題步驟相對(duì)來(lái)說(shuō)比較固定，且難度不大，主要有三個(gè)步驟倆注意，今天就跟大家共同學(xué)習(xí)一下。
三個(gè)步驟
1.題型特征
首先我們要清楚什么樣的題型屬于和定最值問(wèn)題。顧名思義，和定最值問(wèn)題解決的是幾個(gè)量的和一定，求其中某個(gè)量的最大值或最小值的問(wèn)題。
2.解題原則
求某個(gè)量的最大(小)值，就要讓其余量盡可能小(大)，從最小(大)開(kāi)始分析。
3.例題精講
例題：領(lǐng)導(dǎo)拿了30張購(gòu)物券獎(jiǎng)勵(lì)給工作表現(xiàn)優(yōu)秀的四人，要求每個(gè)人都要分到，且分得的購(gòu)物券數(shù)量互不相等，那么分得購(gòu)物券最多的人最少可以得到多少?gòu)堎?gòu)物券？（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C【解析】題目表述滿足幾個(gè)量的和一定，求某個(gè)量的最小值這一特征，即和定最值問(wèn)題。要解決和定最值問(wèn)題，先從問(wèn)題入手，首先要確定誰(shuí)是分得購(gòu)物券最多的人，我們可以將這四個(gè)人按照所分?jǐn)?shù)量從多到少依次排序，排第一的人就是我們要的，設(shè)為x即可；其次表示其余量，我們要求第一最少得到多少?gòu)堎?gòu)物券，在和一定的情況下，就要讓其余三人分得的購(gòu)物券數(shù)量盡可能的多，那么從最多開(kāi)始分析，就是從第二開(kāi)始分析，題目中，有互不相等的條件，所以第二再大也要比第一小，所以第二的最大值只比第一小1，即x-1，依此類(lèi)推，第三再大也要比第二小，所以第三的最大值比第二小1，即x-2，同理第四最大為x-3；最后四個(gè)量都表示出來(lái)之后就可以列方程求解了，x+(x-1)+(x-2)+(x-3)=30，整理得4x-6=30，解得x=9。故本題選C。
小結(jié)：這道和定最值問(wèn)題是如何解決的呢？我們將解題過(guò)程分步梳理出來(lái)，則一共包含3個(gè)步驟：
1.將各個(gè)量按照從大到小的順序依次排序，并將所求設(shè)為未知數(shù)x；
2.根據(jù)解題原則依次表示其余量；
3.根據(jù)各個(gè)量加和等于總量列方程求解。
兩個(gè)注意
和定最值問(wèn)題，要注意“取等”和“取整”，何為“取等”和“取整”呢？接下來(lái)我們就通過(guò)兩道題目來(lái)詳細(xì)說(shuō)明一下。
例1：植樹(shù)節(jié)來(lái)臨之際，120人參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，共分成人數(shù)不等且每組不少于10人的六個(gè)小組，每人只能參加一個(gè)小組，則參加人數(shù)第二多的小組最多有多少人？（ ）
A.36 B.37 C.38 D.39
【答案】A【解析】題目表述為六個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為120，和一定，求參加人數(shù)第二多的小組最多有多少人，求最值，所以是和定最值問(wèn)題。第一步，先將六個(gè)小組按照活動(dòng)人數(shù)從多到少依次排序，所求為第二的最大值，將第二設(shè)為x，第二步，根據(jù)解題原則，確定其余量，要求第二的最大值，在和一定的情況下，就要讓其余量盡可能小，從最小開(kāi)始分析，即從第六開(kāi)始分析，因?yàn)橐竺拷M不少于10人，所以最小的第六只有10人，而六組人數(shù)不等，所以第五再小也要比第六大1，所以，第五最小值為11，以此類(lèi)推，第四最小值為12，第三最小值為13，第二已經(jīng)設(shè)為x，則第一最小值比第二組大1，即x+1第三步，根據(jù)六組人數(shù)加和為120列方程，整理得2x+47=120。解得x等于36.X，因?yàn)閤設(shè)的是理論上人數(shù)第二多的最大值，所以必須要取正整數(shù)，由問(wèn)法可知，最多有36.X，取不到37，但是可以取36。故本題選A。
小結(jié)：本題解方程出現(xiàn)了小數(shù)，所以需要取整，取整一般看問(wèn)法，問(wèn)某個(gè)量的最大值就向下取，問(wèn)某個(gè)量的最小值就像上取。本題求最大值，所以將36.X向下取整，為36。
例2：六一兒童節(jié)期間，100名幼兒園學(xué)生參加五項(xiàng)活動(dòng)，參加人數(shù)最多的活動(dòng)人數(shù)不超過(guò)參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)的二倍，則參加人數(shù)最少的活動(dòng)最少有多少人參加？（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】C【解析】題目表述為五項(xiàng)活動(dòng)的參加人數(shù)和為100，和一定，求參加人數(shù)最少的活動(dòng)的最小值，所以是和定最值問(wèn)題，第一步，先將五項(xiàng)活動(dòng)按照參加人數(shù)從多到少依次排列。所求為第五的最小值，將第五設(shè)為x，第二步，根據(jù)解題原則確定其余量，要求第五的最小值，在和一定的情況下就要讓其余量盡可能大，從最大開(kāi)始分析，根據(jù)要求參加人數(shù)最多的活動(dòng)，人數(shù)不超過(guò)參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)的二倍，可知第一的人數(shù)≤第五的2倍，則第一最大為2x，本題沒(méi)有各不相同的條件，所以第二最大也可以為2x，同理第三、第四的最大值均為2x，第三步，根據(jù)五項(xiàng)人數(shù)之和等于100列方程，整理得9x=100，解得x=11.X，求最小值則向上取整，取12，故本題選C。
小結(jié)：在表示其余量時(shí)要注意題目中是否有“各不相同”的條件，如果沒(méi)有，要注意各個(gè)量可以取等。
最后，我們用一個(gè)小口訣將和定最值問(wèn)題的解題步驟和注意事項(xiàng)聯(lián)系在一起：和定最值不要急，三個(gè)步驟倆注意，排序表示和方程，注意取等和取整。
“六字口訣”巧解行測(cè)特殊和定最值問(wèn)題
行測(cè)數(shù)量關(guān)系中有一類(lèi)題型叫做和定最值，相信各位考生并不陌生，這類(lèi)題目題干中往往已知幾個(gè)數(shù)的和，讓求某一個(gè)量的最大(或最小值)，解決此類(lèi)題目時(shí)往往遵循的原則是：讓其他量在滿足題干要求的情況下盡可能的小(或盡可能的大)，從而進(jìn)行求解。但是近幾年行測(cè)考試中出現(xiàn)了一類(lèi)較為特殊的和定最值問(wèn)題，在此帶各位考生來(lái)了解一下這類(lèi)特殊和定最值問(wèn)題的解決方法。
一、特殊和定最值問(wèn)題的題型特征
這類(lèi)特殊的和定最值問(wèn)題不同于我們熟悉的和定最值問(wèn)題，這類(lèi)題目的題干中同樣會(huì)涉及到一些量的和，而問(wèn)題則是讓求解其中某個(gè)部分的最大值(或最小值)。
二、特殊和定最值問(wèn)題的題型方法
這類(lèi)題目仍然需要借助方程法解決，但是在解方程的過(guò)程中我們需要結(jié)合“六字口訣”來(lái)進(jìn)行，“六字口訣”為：小系數(shù)，同方向，下面通過(guò)兩道題目來(lái)看一下它的具體應(yīng)用：
例1：觀眾對(duì)五位歌手的歌曲進(jìn)行投票，每張選票都可以選擇5首歌曲中的任意一首或多首，但只有選擇不超過(guò)3首歌曲的選票才為有效票。5首歌曲的得票數(shù)分別為總票數(shù)的82%、73%、69%、51%和45%。則本次投票的有效率最高可能為多少？（ ）
A.95% B.90% C.85% D.80%
【答案】B【解析】題干中沒(méi)有觀眾的總數(shù)，但是給的得票數(shù)為比例，因此為了便于計(jì)算我們假設(shè)投票觀眾共有100人，則這100人共投出了82+73+69+51+45=320票。設(shè)有效票x張，無(wú)效票y張，根據(jù)題目要求列式：(1、2、3)x+(4、5)y=320①，x+y=100②要想求解方程，這一類(lèi)題型特殊就在于未知數(shù)不確定，要想求解需確定方程①中未知項(xiàng)的系數(shù)分別為多少，在這里給大家介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的“六字口訣”：“小系數(shù)，同方向”?！靶∠禂?shù)”指的是需要根據(jù)兩個(gè)未知數(shù)前面的系數(shù)大小來(lái)決定先確定哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，本題中很顯然x前面的系數(shù)比較小；“同方向”有兩層含義，第一層含義是首先要找到與小系數(shù)在一起的未知數(shù)，并確定其取最大值還是最小值，本題與小系數(shù)在一起的未知數(shù)是x并且根據(jù)題意我們要取最大值，則同方向就決定x前面的系數(shù)也取最大值，故取3；第二層“同方向”的含義是另一個(gè)未知數(shù)前面的系數(shù)和小系數(shù)的未知數(shù)取的方向一樣，小系數(shù)取最大值另一個(gè)系數(shù)也取最大，小系數(shù)取最小值另一個(gè)系數(shù)也取最小，本題小系數(shù)取最大值，故另一個(gè)系數(shù)也取最大，取5。從而確定方程為3x+5y=320①，x+y=100②，聯(lián)立①、②解得x=90，因此本次投票有效率最高為90÷100×100%=90%，選B項(xiàng)。
例2：某小學(xué)舉行作文大賽，家長(zhǎng)們對(duì)挑選出來(lái)的6篇作文進(jìn)行不記名投票，每張選票可以選擇6篇作文中的任意一篇或多篇，但只有選擇不超過(guò)3篇作文的票才是有效票。6篇作文的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的67%、53%、72%、39%、51%、48%，那么本次投票的有效率最少為：（ ）
A.21% B.22% C.23% D.24%
【答案】D【解析】題干同樣沒(méi)有給出家長(zhǎng)具體人數(shù)，但給了得票數(shù)的比例，因此假設(shè)共有100位家長(zhǎng)，則6篇作文的總得票數(shù)67+53+72+39+51+48=330票，設(shè)有效票x張，無(wú)效票y張，根據(jù)題目要求列式：(1、2、3)x+(4、5、6)y=330，由“小系數(shù)、同方向”可知，優(yōu)先看系數(shù)較小的未知數(shù)取最大值還是最小值，本題中要求有效率最少，即x取最小值，故x的系數(shù)應(yīng)取最小為1，同方向決定y的系數(shù)也要取最小為4，則x+4y=330①，x+y=100②，聯(lián)立①、②解得x=23.X，結(jié)合x(chóng)假設(shè)的是票的張數(shù)，只能取整數(shù)，最小為23.x因此只能取24，即本次投票有效率最少為24÷100×100%=24%。
通過(guò)上述題目，相信各位考生對(duì)于“六字口訣”如何解決另類(lèi)極值問(wèn)題有了一定了解，大家在平時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化練習(xí)，以便能夠熟練掌握其應(yīng)用。
