行測(cè)數(shù)量關(guān)系?？紗?wèn)題解題技巧
快速解決雞兔同籠問(wèn)題
雞兔同籠問(wèn)題的歷史悠久，大約在1500年前《孫子算經(jīng)》中就記載了一個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣表述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉免各幾何？”，把這幾句話翻譯過(guò)來(lái)就是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳；求籠中各有幾只雞和兔？今天政華公考就根據(jù)這道題目，跟大家一起來(lái)聊一聊這一類問(wèn)題。
一、基礎(chǔ)的雞兔同籠問(wèn)題
1.題型特征
例1：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？
【解析】該題干中涉及了雞和兔兩個(gè)主體，并且已知頭和腳的總數(shù)；根據(jù)常識(shí)可知一只雞有1個(gè)頭、2只腳，一只兔有1個(gè)頭、4只腳。即已知兩個(gè)主體(雞和兔)的指標(biāo)數(shù)(1只雞有1個(gè)頭、2只腳和1只兔有1個(gè)頭、4只腳)和指標(biāo)總數(shù)(共有35個(gè)頭和94只腳)，也就歸納出了這類題目的題型特征。
題型特征：已知兩個(gè)主體的兩個(gè)指標(biāo)數(shù)，兩個(gè)指標(biāo)的總數(shù)。
2.求解方法
常用的方法是方程法和假設(shè)法。
(1)方程法
假設(shè)有x只雞，有y只兔，則根據(jù)總共有35個(gè)頭和94只腳，可得
(2)假設(shè)法
如果籠子中的35只都是雞，那么應(yīng)該有
只腳，但是實(shí)際上有94只腳，因此多出來(lái)94-70=24只腳，那為什么會(huì)多出來(lái)這24只腳呢？
因?yàn)橹灰幸恢煌米泳蜁?huì)比假設(shè)的70只腳多2只腳，則多出來(lái)多少個(gè)兩只就說(shuō)明有多少只兔子，因此兔子有24÷2=12只，那么雞的數(shù)量就是35-12=23只。
在現(xiàn)在的考試中當(dāng)然很少會(huì)考查這么基礎(chǔ)的題目，所以我們來(lái)看一下這種題目的變形。
二、雞兔同籠問(wèn)題的變形
例2：某工程需要運(yùn)送一批建材，一輛卡車在晴天每天可運(yùn)20次，雨天每天只能運(yùn)12次。該輛卡車連續(xù)8天運(yùn)送了112次，那么運(yùn)送期間經(jīng)歷的晴天有( )天。
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A【解析】根據(jù)題干可知：晴天加雨天共8天，晴天和雨天運(yùn)送了112次。
方法一，設(shè)晴天有x天，雨天有y天，則有
方法二，如果8天全是雨天，可運(yùn)12×8=96次，比實(shí)際少運(yùn)了112-96=16次。每多一個(gè)晴天比一個(gè)雨天多運(yùn)20-12=8次，則運(yùn)送期間經(jīng)歷的晴天有16÷8=2天，故本題選A。
因此我們可以發(fā)現(xiàn)，求的是晴天，我們?cè)O(shè)的是全是雨天，反之如果要我們求的是雨天，就可以設(shè)全是晴天，即總結(jié)出假設(shè)法的思路為設(shè)雞求兔和設(shè)兔求雞。
大家在掌握方程法解雞兔同籠問(wèn)題的同時(shí)，也可以巧妙地利用假設(shè)法提高我們的做題速度，你學(xué)會(huì)了嗎？
交替合作問(wèn)題之正效率篇
工程問(wèn)題是我們?cè)趯W(xué)習(xí)行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算中比較常見(jiàn)的一種題型，但是這種題型往往容易出現(xiàn)帶有陷阱的地方，那就是工程問(wèn)題中的交替合作問(wèn)題，在此類問(wèn)題中可能會(huì)出現(xiàn)正效率也有可能出現(xiàn)負(fù)效率，所以我們需要在做題的時(shí)候分析清楚這兩類題目，接下來(lái)政華公考帶著大家來(lái)解決交替合作中的正效率問(wèn)題。
概念理解
交替合作問(wèn)題一般指在多個(gè)主體下以交替合作的方式去完成某一項(xiàng)工作，并且會(huì)以循環(huán)的方式進(jìn)行，直到完成這項(xiàng)工作，所以本質(zhì)在于周期循環(huán)的過(guò)程。
例題剖析
例題：一條隧道，甲單獨(dú)挖要20天完成，乙單獨(dú)挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……兩人如此交替工作。那么，挖完這條隧道共用多少天？（ ）
A.11.5 B.12.5 C.13.5 D.14.5
【答案】C【解析】要想求出完成這項(xiàng)工作的時(shí)間，我們需要三個(gè)數(shù)據(jù)，分別是工程總量和甲乙的效率和，先用特值法設(shè)出隧道的工程總量，即設(shè)為20和10的最小公倍數(shù)20，那么就可以得出甲和乙的效率分別是1和2，最小的循環(huán)周期為2天(甲工作1天，乙工作1天)，一個(gè)循環(huán)周期的工作量為1+2=3，那么完成20÷3=6…2，則需要6個(gè)循環(huán)周期還剩下2個(gè)工作量，剩余的工作量需要甲做1天，乙做0.5天，再加上之前的6個(gè)循環(huán)周期(每個(gè)循環(huán)周期為2天)即12天，一共是13.5天。選擇C。
步驟總結(jié)
1.設(shè)工作總量為時(shí)間的最小公倍數(shù)；
2.分別求出每個(gè)主體的效率；
3.確定好一個(gè)循環(huán)周期的時(shí)間及效率總值；
4.算出該工作總量中的周期個(gè)數(shù)以及剩余工作量
5.根據(jù)題目要求分析剩余工作量所需時(shí)間。
實(shí)戰(zhàn)演練
例題：單獨(dú)完成某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需要36天，乙隊(duì)需要30天，丙隊(duì)需要32天。如果安排合作施工，按照甲乙、乙丙、丙甲、甲乙……的順序按天輪轉(zhuǎn)，問(wèn)完成這項(xiàng)工作時(shí)，甲工作了多少天？（ ）
A.11天整 B.11天多 C.12天整 D.12天多
【答案】A【解析】第一步：設(shè)工作總量為1440(36、30、32的最小公倍數(shù))，第二步：則甲隊(duì)的效率為1440÷36=40，乙隊(duì)的效率為1440÷30=48，丙隊(duì)的效率為1440÷32=45。第三步：甲乙、乙丙、丙甲正好是一個(gè)周期，一個(gè)周期完成的工作量為(40+48+45)×2=266，第四步：1440÷266=5……110，第五步：甲乙一天完成的工作量為40+48=88，剩余110-88=22的工作量由乙丙完成，需要不到一天的時(shí)間。所以一個(gè)周期甲做2天和最后剩余量甲做1天，則甲工作的時(shí)間為5×2+1=11天。
希望各位同學(xué)們能夠梳理清楚交替合作問(wèn)題的題干以及操作步驟，并且在課后之余要多加練習(xí)。這樣就能夠在下次碰到類似的題目時(shí)能夠快速反應(yīng)并作答正確。當(dāng)能夠做好正效率交替合作問(wèn)題時(shí)，我們才好進(jìn)一步去解決負(fù)效率的交替合作問(wèn)題。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系：思維鑄就基礎(chǔ)方法決定效率
眾所周知，題量大、時(shí)間緊是行測(cè)考試的一貫特點(diǎn)，兵貴神速依然是決勝的不二選擇。對(duì)于數(shù)量關(guān)系部分，如何快速解題，今天政華公考帶領(lǐng)大家通過(guò)具體題目感受不同視角的數(shù)學(xué)思維吧！
例題：某廠為甲、乙、丙三個(gè)商店乒乓球的庫(kù)存地，共存放了6000個(gè)乒乓球，工人不小心把甲商店庫(kù)存中的144個(gè)乒乓球錯(cuò)放入乙商店庫(kù)存后，乙商店的乒乓球個(gè)數(shù)比丙商店多600個(gè)，且此時(shí)甲、乙兩商店的庫(kù)存量之比為5∶3，則原來(lái)甲商店存有多少個(gè)乒乓球？（ ）
A.3130 B.3144 C.3150 D.3160
【答案】B【解析】【視角一】代入驗(yàn)證
根據(jù)題干條件，依次代入選項(xiàng)分析驗(yàn)證。代入A項(xiàng)，若原來(lái)甲存有3130個(gè)乒乓球，則后來(lái)甲還有2986個(gè)，后來(lái)乙丙店合計(jì)是3014個(gè)，又乙比丙多600個(gè)，故后來(lái)乙有(3014+600)÷2=1807個(gè)。而此時(shí)甲、乙?guī)齑媪恐?/span>
2986：1807，不等于5：3，排除；代入B項(xiàng)，若原來(lái)甲存有3144個(gè)乒乓球，則后來(lái)甲還有3000個(gè)，后來(lái)乙丙店合計(jì)是3000個(gè)，同理后來(lái)乙有(3000+600)÷2=1800個(gè)。此時(shí)甲、乙之比3000：1800等于5：3，且此時(shí)題干條件已全部滿足，作為只有唯一答案的單選試題，選擇B項(xiàng)即可。
【視角二】方程思想(設(shè)多個(gè)未知數(shù))
設(shè)原來(lái)甲、乙、丙分別存有x、y、z個(gè)乒乓球，由三店庫(kù)存總量為6000個(gè)可得x+y+z=6000①；后來(lái)將甲店的144個(gè)球錯(cuò)放入乙店后，甲、乙的數(shù)量分別為x-144、y+144個(gè)，丙店數(shù)量依然為z個(gè)，由條件得y+144-z=600②，且有
得3x-5y=1152③，①+②得x+2y=6456④，③×2+④×5得11x=34584，x=3144。選擇B項(xiàng)。
【視角三】方程思想(設(shè)一個(gè)未知數(shù))
根據(jù)題意，當(dāng)把甲店中的144個(gè)乒乓球錯(cuò)放入乙店后，甲、乙兩店的庫(kù)存量之比為5：3，可設(shè)后來(lái)甲、乙的庫(kù)存分別為5x、3x個(gè)，則丙商店后來(lái)應(yīng)有6000-5x-3x個(gè)，又因乙店的個(gè)數(shù)比丙店多600個(gè)，得3x-600=6000-5x-3x，解得x=600，則甲商店原來(lái)的庫(kù)存為600×5+144=3144個(gè)。選擇B項(xiàng)。
【視角四】整除思想
由題意知，甲店原有庫(kù)存?zhèn)€數(shù)減去144后，是5的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，只有B項(xiàng)滿足。選擇B項(xiàng)。
綜上所述，多方式分析同一道題目，切入點(diǎn)不同，對(duì)應(yīng)難度亦不同，使用環(huán)境也不同。代入驗(yàn)證是最粗略的方法，優(yōu)點(diǎn)是思考量少，缺點(diǎn)是有可能需要較長(zhǎng)時(shí)間；方程思想是最基礎(chǔ)的方法，優(yōu)點(diǎn)是適用性廣，對(duì)于含有明顯等量關(guān)系的題目皆可使用，并且通過(guò)對(duì)比視角二和視角三，發(fā)現(xiàn)設(shè)多個(gè)未知數(shù)列方程時(shí)思考量較少，設(shè)較少未知數(shù)列方程時(shí)計(jì)算量則較少；視角四整除思想技巧性較強(qiáng)，很多復(fù)雜情況都能快速解決，但其具體解題速度可能會(huì)受制于選項(xiàng)數(shù)值的設(shè)置。
正所謂“思維鑄就基礎(chǔ)，方法決定效率”，至于考場(chǎng)上具體用什么方法，大家只有在平常多儲(chǔ)備、多學(xué)習(xí)，才能到時(shí)練就一雙慧眼、以速制勝。
行測(cè)函數(shù)圖像問(wèn)題的應(yīng)對(duì)小妙招
函數(shù)問(wèn)題是結(jié)合圖像的方式來(lái)展示數(shù)學(xué)關(guān)系的問(wèn)題，這類問(wèn)題看上去比較難，但實(shí)際上在行測(cè)考試中，解決函數(shù)問(wèn)題還是有章可循有據(jù)可依的。行測(cè)考試中涉及到的函數(shù)主要包括三種函數(shù)，分別為常函數(shù)、一次函數(shù)、分段函數(shù)，一般不會(huì)涉及到過(guò)于復(fù)雜的函數(shù)類型。一般來(lái)說(shuō)解決此類問(wèn)題需要注意以下四個(gè)方面，具體如下：
(1)確定函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)。即y=0時(shí)x的取值(與x軸交點(diǎn))、x=0時(shí)y的取值(與y軸的交點(diǎn))；
(2)判斷函數(shù)是否具有周期性、分段等特性，并找到分段函數(shù)的分段點(diǎn)。
(3)判斷函數(shù)是否為直線。常函數(shù)或等比例變化的函數(shù)(一次函數(shù))圖像均為直線，其他復(fù)雜的函數(shù)可能出現(xiàn)曲線。
(4)描出不同分段內(nèi)的部分點(diǎn)，重點(diǎn)描出最大值或最小值點(diǎn)。
總之，只要把握函數(shù)圖像的范圍、最高點(diǎn)最低點(diǎn)以及極點(diǎn)、變化趨勢(shì)即單調(diào)性周期性對(duì)稱性等核心，那么常見(jiàn)的圖像類問(wèn)題就能有效解決。接下來(lái)我們來(lái)看兩道題目：
例1：甲和乙兩條自動(dòng)化生產(chǎn)線同時(shí)生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，甲生產(chǎn)線單位時(shí)間的產(chǎn)量是乙生產(chǎn)線的5倍，甲生產(chǎn)線每工作1小時(shí)就需要花3小時(shí)時(shí)間停機(jī)冷卻而乙生產(chǎn)線可以不間斷生產(chǎn)。問(wèn)以下哪個(gè)坐標(biāo)圖能準(zhǔn)確表示甲、乙生產(chǎn)線產(chǎn)量之差(縱軸L)與總生產(chǎn)時(shí)間(橫軸T)之間的關(guān)系？（ ）
【答案】A【解析】甲以4小時(shí)為一周期工作，乙連續(xù)工作，所以兩者產(chǎn)量差應(yīng)具有周期性。甲每工作工作1小時(shí)就需要冷卻3小時(shí)，所以在每個(gè)工作周期內(nèi)部應(yīng)該是以1：3的時(shí)間分段的，排除B項(xiàng)。再考慮每個(gè)周期結(jié)束后的甲、乙產(chǎn)量差，設(shè)甲的工作效率為5、乙為1，每個(gè)周期(4小時(shí))的產(chǎn)量差為5-4×1=1，斜率為
，即原點(diǎn)到每個(gè)周期結(jié)束點(diǎn)的連線所形成的直線斜率為
，而選項(xiàng)C、D的斜率都為1，排除C、D。故選A。
例2：某飼料廠原有舊糧庫(kù)存Y袋，現(xiàn)購(gòu)進(jìn)X袋新糧后，將糧食總庫(kù)存的
精加工為飼料。被精加工為飼料的新糧最多為A1袋，最少為A2袋。如所有舊糧、新糧每袋重量相同，則以下哪個(gè)坐標(biāo)圖最能準(zhǔn)確描述A1、A2分別與X的關(guān)系？（ ）
【答案】A【解析】A2曲線：若想要新糧加工量最少，需要先加工舊糧，說(shuō)明A2必須有一段縱軸值為0的橫線，排除C項(xiàng)；A1曲線：若想要新糧加工量最多，則需要先加工新糧，舊糧Y是不變量，不存在周期性，排除D；觀察A、B選項(xiàng)，區(qū)別在于A1曲線第一段的斜率，代表的是盡量多的使用新糧的起始階段，此時(shí)應(yīng)該全部使用新糧，斜率為1，A項(xiàng)符合。故選A。
通過(guò)以上例題各位考生會(huì)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)圖像問(wèn)題簡(jiǎn)單應(yīng)用其實(shí)并不難，在公務(wù)員考試的備考過(guò)程中掌握解題思路就能夠順利解決函數(shù)圖像問(wèn)題。在備考過(guò)程中，可能會(huì)遇到較為復(fù)雜的函數(shù)圖像題目，在讀題時(shí)認(rèn)真審題，靈活應(yīng)用解題思路，切勿生搬硬套。
行程問(wèn)題之平均速度
在行測(cè)數(shù)量關(guān)系中，行程問(wèn)題幾乎每年必考，不少考生認(rèn)為該問(wèn)題較難，選擇放棄。其實(shí)把行程問(wèn)題細(xì)分為各小題型，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多小題型因?yàn)橛刑囟ǖ那蠼馑悸泛头椒ǎ€是比較簡(jiǎn)單易學(xué)的。今天，政華公考就帶大家一起學(xué)習(xí)其中一類只需根據(jù)基本公式就能解題的小題型——與平均速度有關(guān)的行程問(wèn)題。
基礎(chǔ)知識(shí)
例題精講
例1：一輛汽車第一天行駛了5個(gè)小時(shí)，第二天行駛了600千米，第三天比第一天少行駛200千米，三天共行駛18小時(shí)，已知第一天的平均速度與三天全程的平均速度相同，則三天共行駛了多少千米？（ ）
A.800 B.900 C.1000 D.1100
【答案】B【解析】設(shè)第一天和三天全程的平均速度均為v千米/時(shí)，則第一天行駛距離為5v千米，第三天行駛距離為(5v-200)千米，根據(jù)“第一天的平均速度與三天全程的平均速度相同”，
解得v=50，則三天共行駛了18×50=900千米，故本題選B。
例2：小偉從家到學(xué)校去上學(xué)，先上坡后下坡。到學(xué)校后，小偉發(fā)現(xiàn)沒(méi)帶物理課本，他立即回家拿書(假設(shè)在學(xué)校耽誤時(shí)間忽略不計(jì))，往返共用時(shí)36分鐘。假設(shè)小偉上坡速度為80米/分鐘，下坡速度為100米/分鐘，小偉家到學(xué)校有多遠(yuǎn)？（ ）
A.2400米 B.1720米 C.1600米 D.1200米
【答案】C【解析】
小結(jié)：1.此類題目的特征是題干出現(xiàn)“平均速度”的字眼。2.閱讀題目后，需要判斷本道題目的平均速度應(yīng)該使用哪一個(gè)公式。
通過(guò)以上題目的學(xué)習(xí)，政華公考相信大家對(duì)于平均速度相關(guān)的題目，以及各個(gè)公式的應(yīng)用有了一定的了解。希望各位同學(xué)在平時(shí)做題過(guò)程中能夠多加練習(xí)，真正做到融會(huì)貫通，熟能生巧。
