“六字口訣”巧解“另類”和定最值
公職考試中，大多數(shù)備考者對(duì)數(shù)量關(guān)系望而生畏。之所以望而生畏是因?yàn)槿鄙傧鄳?yīng)的解題方法和技巧。今天，我們就跟大家就一起來(lái)揭曉如何巧解“另類”和定最值問(wèn)題。
【例】共有100個(gè)人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1-5題分別有80人，92人，86人，78人和74人答對(duì)，答對(duì)了3題和3道以上的人員能通過(guò)考試，請(qǐng)問(wèn)至少有多少人能通過(guò)考試?
【解析】讀完題，其實(shí)很少有同學(xué)能反應(yīng)過(guò)來(lái)是和定最值問(wèn)題，我們來(lái)看一下它的問(wèn)題，“至少有多少人能通過(guò)考試?”，總?cè)藬?shù)是100人，即通過(guò)與不通過(guò)總共100人，所以它還是兩個(gè)數(shù)加和固定，求某個(gè)量的最小值的問(wèn)題。那現(xiàn)在我們不妨把要求的能通過(guò)考試的人數(shù)設(shè)為x，沒(méi)通過(guò)的人數(shù)設(shè)為y，那么就有x+y=100 ，如果此時(shí)我們能再列出一個(gè)關(guān)于x、y的方程并且把它們解出來(lái)就完美了，我們?cè)倏匆豢雌渌臈l件，答對(duì)3、4、5道題目的人能通過(guò)考試，反過(guò)來(lái)答對(duì)0、1、2道題目的人不通過(guò)，而答對(duì)的題目總數(shù)為80+92+86+78+74=410道，所以可以列式為(3，4，5)x+(0，1，2)y=410 ?，此時(shí)要怎么做才能得到x的最小值呢?這里老師就要給大家介紹“六字口訣”了，叫做：“小系數(shù)，同方向”。具體什么意思以及如何操作呢?
第一點(diǎn)，“小系數(shù)”，小系數(shù)指的是x，y兩組未知數(shù)前的系數(shù)相對(duì)小的，很顯然這里應(yīng)該是y的系數(shù)(0，1，2)這組。那么到底取0還是1還是2呢?我們看第二個(gè)點(diǎn)，“同方向”，問(wèn)題中求的是x的最小值，因此y的值就要最大，因此y的系數(shù)也取相對(duì)大的2。再看x的系數(shù)，在(3，4，5)中怎么確定呢?這里告訴大家，要跟y同方向確定，即取相對(duì)最大的5。則有5x+2y=410，聯(lián)立x+y=100，可解得x=70，所以至少有70人能通過(guò)考試。
【總結(jié)】“小系數(shù)，同方向”中“小系數(shù)”指的是從兩組系數(shù)中相對(duì)小的一組入手;“同方向”有兩層內(nèi)容，第一層指的是若所求為最大值，小系數(shù)的幾個(gè)值中取最大的，若所求為最小值，小系數(shù)的幾個(gè)值中取最小的;第二層指的是另一個(gè)組系數(shù)大小的確定與小系數(shù)這組所取方向一致。
清楚了“小系數(shù)，同方向”如何解題后，來(lái)道例題鞏固一下。
【鞏固訓(xùn)練】書法大賽的觀眾對(duì)5幅作品進(jìn)行不記名投票。每張選票都可以選擇5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在選擇不超過(guò)2幅作品時(shí)才為有效票。5幅作品的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的69%、63%、44%、58%和56%。問(wèn)本次投票的有效率最高可能為多少?( )
A.65% B.70% C.75% D.80%
【解析】不妨設(shè)參與投票的觀眾總?cè)藬?shù)為100人，則5幅作品的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為69、63、44、58和56，這幾個(gè)數(shù)字的和為290，即5幅作品的總得票數(shù)為290，而總共有100人參與投票，可根據(jù)等量關(guān)系列式求解，投票情況分為有效票和無(wú)效票，其中投1幅或2幅作品的票為有效票，投3幅或4幅或5幅作品的票為無(wú)效票，設(shè)有效票為x，無(wú)效票為y，可列出等式：x+y=100和(1，2)x+(3，4，5)y=290。根據(jù) “小系數(shù)，同方向”，x的系數(shù)(1，2)比y的系數(shù)(3，4，5)要小，所以x與y的系數(shù)選擇與x的極值取值方向一致。題目要求投票的有效率最高，即有效票數(shù)x最大，所以x與y的系數(shù)分別取系數(shù)范圍中的最大值，x的系數(shù)取2，y的系數(shù)取5，由此得到2x+5y=290，再結(jié)合x+y=100，通過(guò)簡(jiǎn)單的代入消元即可確定x=70，所以有效票最多為70票，而此時(shí)總投票人數(shù)設(shè)為了100人，即投票的有效率為70%。選擇B選項(xiàng)。
以上是“另類”和定最值問(wèn)題解題技巧，希望大家勤做練習(xí)，熟練掌握，提高做題速度，增加答題準(zhǔn)確率!
行測(cè)行程問(wèn)題的“克星”——行程圖
在公務(wù)員考試中，行程問(wèn)題一直是熱點(diǎn)也是我們考查的重點(diǎn)，考查的難度也往往是所有運(yùn)算題型當(dāng)中最難的一部分。因此行程問(wèn)題是大部分考生最為頭疼的一個(gè)題型，但是，任何題目都有技巧，只要摸準(zhǔn)了這些題的規(guī)律，可以按照相同的思路去解決。那接下來(lái)我們就帶大家來(lái)看看對(duì)于行程問(wèn)題我們?cè)撨\(yùn)用什么樣的思路來(lái)解決。
一.題型說(shuō)明
行程問(wèn)題主要研究的是路程s，速度v，時(shí)間t這三個(gè)量之間的關(guān)系，而且我們知道路程=速度×?xí)r間(s=v×t)。而在解決行程問(wèn)題時(shí)候，很多的題目涉及到的主體和時(shí)間比較多，因此我們需要借助行程圖來(lái)對(duì)題目中的行程過(guò)程進(jìn)行梳理。
二.典型例題
例1.甲、乙兩地鐵路線長(zhǎng)1880千米，從甲地到乙地開(kāi)出一輛動(dòng)車，每小時(shí)行駛160千米，3小時(shí)后，從乙地到甲地開(kāi)出一輛高鐵，經(jīng)4小時(shí)后與動(dòng)車相遇，則高鐵每小時(shí)行駛：
A.180千米 B.190千米 C.200千米 D.210千米
【答案】B
【解析】：設(shè)高鐵速度為v千米/小時(shí)，從出發(fā)到相遇，動(dòng)車行駛了(3+4)小時(shí)，高鐵行駛了4小時(shí)。結(jié)合題意作圖如下，根據(jù)圖中線段關(guān)系可得(3+4)×160+4v=1880。解得v=190，因此答案選擇B。
例2.甲、乙、丙三輛車的時(shí)速分別為60公里、50公里和40公里，甲從A地，乙和丙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲遇到乙后15分鐘又遇到丙，問(wèn)A、B兩地相距多少公里?
A.150 B.250 C.275 D.325
【答案】C
【解析】：設(shè)甲和乙從出發(fā)至相遇用時(shí)為t分鐘，則甲與丙從出發(fā)至相遇用時(shí)為(t+15)分鐘。結(jié)合題意作圖如下：
根據(jù)圖中線段關(guān)系可得，60t+50t=60(t+15)+40(t+15)，解得t=150，即甲乙從出發(fā)至相遇用時(shí)為150分鐘=2.5小時(shí)，則所求為60×2.5+50×2.5=275公里。
例3.甲、乙兩人同時(shí)駕車從A地向B地出發(fā)，甲的車速是每小時(shí)50千米，乙的車速是每小時(shí)60千米，乙到達(dá)B地后立即原路返回，又過(guò)20分鐘與甲相遇。A地與B地之間的距離是( )千米。
A.180 B.200 C.220 D.240
【答案】C
【解析】：假設(shè)甲乙經(jīng)過(guò)t小時(shí)相遇，結(jié)合題意作圖如下，根據(jù)圖中線段關(guān)系可得50t+20=60t-20，解得t=4，則AB兩地之間的距離為50×4+20=220千米。
通過(guò)上述的講解，相信同學(xué)們能夠?qū)τ谛谐虉D以及行程問(wèn)題這一部分有很好的掌握，對(duì)于題目也知道該如何應(yīng)對(duì)了，希望同學(xué)們能夠在考試中從容應(yīng)對(duì)此類型的題目，并且將這一部分的分?jǐn)?shù)拿到手。
數(shù)量關(guān)系中等量關(guān)系的建立
在國(guó)家公務(wù)員行測(cè)考試中，有部分題目是可以通過(guò)列方程，建立等量關(guān)系來(lái)求解的。而在做題時(shí)如何去挖掘出題目中的等量關(guān)系呢?那么需要各位同學(xué)追根溯源從題干條件中獲取，今天我們就帶大家學(xué)習(xí)一下如何快速尋找這些等量關(guān)系。
一、典型例題
【例1】甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)修公路，甲工程隊(duì)修500米后由乙工程隊(duì)來(lái)修，由以往資料顯示乙工程隊(duì)的效率是甲工程隊(duì)的兩倍，乙工程隊(duì)修600米的時(shí)間比甲工程隊(duì)修500米的時(shí)間少20天，甲工程隊(duì)的工作效率為()米/天。
A.20 B.15 C.10 D.25
【解析】C。此題中出現(xiàn)“乙工程隊(duì)修600米的時(shí)間比甲工程隊(duì)修500米的時(shí)間少20天”可以推出：甲工程隊(duì)修500米所用時(shí)間-乙工程隊(duì)修600米所用時(shí)間=20天。設(shè)甲工程隊(duì)工作效率為x米/天，則乙工程隊(duì)工作效率為2x米/天，有
解得x=10，故選C。
【例2】小明和爺爺在做數(shù)學(xué)游戲，小明說(shuō)：“我比弟弟大10歲，而且我比爺爺小我年齡的4倍”，爺爺和小明的年齡的總和是弟弟年齡的18倍，問(wèn)爺爺與弟弟年齡之和比小明年齡大多少歲?
A.65 B.60 C.62 D.58
【解析】A。此題中出現(xiàn)“爺爺和小明的總和是弟弟年齡的18倍”可以推出：爺爺?shù)哪挲g+小明的年齡=弟弟的年齡×18，設(shè)小明的年齡為x歲，則弟弟的年齡為x-10歲，爺爺?shù)哪挲g為5x歲，有5x+x=18×(x-10)，解得x=15。所求為5x+(x-10)-x=3x-10=65，故選A。
二、方法總結(jié)
我們根據(jù)第一題“乙工程隊(duì)修600米的時(shí)間比甲工程隊(duì)修500米的時(shí)間少20天”來(lái)建立等量關(guān)系，題干中出現(xiàn)“少”這個(gè)字，那么可以推出這是一個(gè)兩者做差的等量關(guān)系，此類型的題目還有很多，列式可分為以下三種：
1，減法型列式：“A比B多(少)”，列式為A-B=C
2，加法型列式：“A與B共多少”，可列式為A+B=C
3，乘除型列式：“A是B的多少倍”，列式為A=-B×C或者
當(dāng)然，在我們國(guó)考中各位同學(xué)還是需要根據(jù)具體題型具體分析，深層次挖掘題中的等量關(guān)系。希望本次的分享對(duì)同學(xué)們會(huì)有所幫助。
空瓶換水里的數(shù)學(xué)思維
行測(cè)數(shù)量關(guān)系在筆試中如何達(dá)到在最短的時(shí)間得到盡可能多的成效，缺少不了巧解題目的數(shù)學(xué)思維。空瓶換水屬于統(tǒng)籌問(wèn)題當(dāng)中的一種，題目特征明顯，屬于數(shù)量關(guān)系里我們可以優(yōu)先識(shí)別出來(lái)的題目?？掌繐Q水的題目理解起來(lái)并不困難，對(duì)于替換關(guān)系比較簡(jiǎn)單、題干中涉及到的數(shù)字較小的題目，確實(shí)可以按部就班的逐次分析。但是題目描述復(fù)雜、涉及的數(shù)字很大的題目，再去逐個(gè)分析確實(shí)沒(méi)有這個(gè)必要。那么這次我們帶大家一起看學(xué)一學(xué)空瓶換水里的數(shù)學(xué)思維。
【例題1】某商店節(jié)日促銷，以“回收環(huán)保，以3換1”的主題售賣飲料。具體規(guī)定如下：3個(gè)同款飲料空瓶可以免費(fèi)換1瓶同款飲料。一瓶飲料售價(jià)5元。李紅現(xiàn)有30元，最多可以喝到幾瓶飲料?
A.9 B.8 C.6 D.10
【解析】答案：A
易錯(cuò)點(diǎn)：李紅首先可以用30元買6瓶飲料，喝完飲料以后得到6個(gè)空瓶。這6個(gè)空瓶還可以換2瓶飲料，再喝完會(huì)剩下2個(gè)空瓶，不滿足“以3換1”的條件。所以一共可以喝到8瓶飲料。選擇B項(xiàng)。但這并不是最優(yōu)方案，為什么呢?
思路一：其實(shí)大家忽略了一種情況，李紅可以先問(wèn)商店“借”1個(gè)空瓶，這樣加上之前剩下的2個(gè)空瓶，就湊夠了3個(gè)空瓶，再去換一瓶飲料喝掉，最后把喝掉剩下的空瓶還給商店，能夠達(dá)到“借1還1”的狀態(tài)。這種數(shù)學(xué)思維能夠達(dá)到最多喝9瓶飲料的結(jié)果。選擇A項(xiàng)。
思路二：思路一可以達(dá)到最多的情況，但是只限數(shù)值較小的題目，如果這道題變成李紅有100元，甚至更多錢，一點(diǎn)一點(diǎn)的推理會(huì)非常耗費(fèi)時(shí)間，同時(shí)還需要考慮剩下的瓶子、換了以后的瓶子、借瓶子的情況等等。所以接下來(lái)的方法才是大家學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。
最終我們需要的是最多能喝多少瓶飲料，所以可以從替換關(guān)系入手分析。3個(gè)空瓶=1瓶飲料→3個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1份飲料(沒(méi)有瓶子裝的飲料)→2個(gè)空瓶=1份飲料。這樣的替換關(guān)系就可以忽略再次換飲料以后還會(huì)留下空瓶的過(guò)程?，F(xiàn)在李紅有30元，可以先買30÷5=6瓶飲料，得到6份飲料和6個(gè)空瓶，替換關(guān)系為2個(gè)空瓶=1份飲料，所以其中的6個(gè)空瓶=3份飲料，最終最多可以喝到6+3=9份飲料。選擇A項(xiàng)。
【例題2】某商店節(jié)日促銷，以“回收環(huán)保，以5換1”的主題售賣飲料。具體規(guī)定如下：5個(gè)同款飲料空瓶可以免費(fèi)換1瓶同款飲料。一瓶飲料售價(jià)5元。李紅現(xiàn)有100元，最多可以喝到幾瓶飲料?
A.20 B.24 C.25 D.26
【解析】答案：C
5個(gè)空瓶=1瓶飲料→5個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1份飲料(沒(méi)有瓶子裝的飲料)→4個(gè)空瓶=1份飲料?，F(xiàn)在李紅有100元，可以先買100÷5=20瓶飲料，得到20份飲料和20個(gè)空瓶，替換關(guān)系為4個(gè)空瓶=1份飲料，所以其中的20個(gè)空瓶=5份飲料，最終最多可以喝到20+5=25份飲料。選擇C項(xiàng)。
大家一定要多加練習(xí)，熟知各類問(wèn)題當(dāng)中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維?？掌繐Q水不再難!數(shù)量關(guān)系節(jié)節(jié)高!
